Ta sẽ dùng phản chứng 

Gọi 4 cạnh của tứ giác là a , b , c , d ( a,b,c,d \(\inℕ^∗\))

Giả sử không có bất kì 2 cạnh nào bằng nhau

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c+d}{a}\\y=\frac{c+d+a}{b}\\z=\frac{d+a+b}{c}\end{cases}}\left(x;y;z\inℕ^∗\right)\)(Do tổng 3 cạnh bất kì chia hết cho cạnh còn lại)

Theo bất đẳng thức trong tứ giác  thì dễ thấy \(x;y;z>1\)

Mà x,y,z là số tự nhiên nên \(x;y;z\ge2\)

Không mất tính tổng quát của bài toán ta giả sử a > b > c > d thì khi đó x < y < z

Ta có : \(\hept{\begin{cases}x\ge2\\y>x\end{cases}}\Rightarrow y\ge3\)

tương tự : \(z\ge4\)

Từ điều giả sử\(\Rightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}b+c+d\ge2a\\c+d+a\ge3b\\d+a+b\ge4c\end{cases}}\)

Cộng 3 vế vào ta được \(2a+2b+2c+3d\ge2a+3b+4c\)

                               \(\Rightarrow3d\ge b+2c\)(Vô lí do b > c > d)

Nên điều giả sử là sai 

Vậy luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh bằng nhau trong tứ giác đó

Gỉa sử tứ giác ABCD có các góc A,B,C,D < 90.

Ta có: A+B+C+B<90+90+90+90=360

Mà tổng các góc trong 1 tứ giác bằng 360 nên một tứ giác không thể có các góc đều là góc nhọn.

Gỉa sử tứ giác ABCD có các góc A,B,C,D > 90.

Ta có: A+B+C+B>90+90+90+90=360

Mà tổng các góc trong 1 tứ giác bằng 360 nên một tứ giác không thể có các góc đều là góc tù

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn ( tức là mỗi góc có số đo nhỏ hơn 90o) thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn:

90 ° + 90 ° + 90 ° + 90 ° = 360 °

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn.

Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù ( tức là mỗi góc có số đo lớn hơn 90 ° ) thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn:

90 ° + 90 ° + 90 ° + 90 ° = 360 °

Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù.

Vì góc tù là góc lớn nhất trong 1 tam giác => có thể kết luận như vậy