Đặt: \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)

Ta có:

\(\frac{a+1}{b^2+1}=a-\frac{ab^2-1}{b^2+1}\ge a-\frac{ab^2-1}{2b}=a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2}+\frac{1}{2c},\frac{c+1}{a^2+1}\ge c-\frac{ca}{2}+\frac{1}{2a}\)

\(\Rightarrow P\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\right)\)

\(=3-\frac{9}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{3}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

mấy dạng kiểu này bạn cứ dùng cô-si ngược là ra

đây nha

đâu bạn

Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

Ta có:

\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)

\(=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT phụ \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Nhầm dòng thứ 3 dưới lên ạ:(

\(\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{x}{xyz\left(x+y+z\right)}+\frac{y}{xyz\left(x+y+z\right)}\) mới đúng nha !

\(\frac{a\left(a+c-2b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(b+a-2c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(c+b-2a\right)}{1+ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(1-b\right)}{1+ab}+\frac{b\left(1-c\right)}{1+bc}+\frac{c\left(1-a\right)}{1+ca}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)-\left(\frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\frac{ca}{1+ca}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\right)+\left(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\right)\ge3\)

Đến đây chia làm 2 bài toán :D

\(\frac{a}{1+ab}=a-\frac{a^2b}{1+ab}\ge a-\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{a^3b}}{2}\)

Tương tự rồi cộng lại:

\(\frac{a}{1+ab}+\frac{b}{1+bc}+\frac{c}{1+ca}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\)

\(\ge a+b+c-\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{9}{3+ab+bc+ca}=\frac{9}{3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)

Cộng 2 cái lại có ngay đpcm

Sử dụng bất đẳng thức  \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)  với ba số  \(a,b,c\)  và ba số  dương \(x,y,z\)  bất kỳ với chú ý rằng  \(a^2b^2c^2=1\), ta có:

 \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{c^2a^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)  \(\left(1\right)\)

Đặt  \(x=ab;\)  \(y=bc;\)  và  \(z=ca\)  thì  \(xyz=1\)  \(\left(2\right)\) với  \(x;\), \(y;\) và  \(z\)  \(>0\)  

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy cho bộ ba số nguyên dương \(x;\), \(y;\) và  \(z\), ta được:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x+y+z\ge3\)  (do  \(\left(2\right)\)), tức  \(ab+bc+ca\ge3\)  \(\left(3\right)\)

Từ  \(\left(1\right);\)  \(\left(3\right)\) ta suy ra   \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)  \(\left(đpcm\right)\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(a=b=c=1\)

thông điệp nhỏ :

hãy tích nếu như ko muốn tích 

ai tích mình tích lại nh nha 

chịu thôi vì mình mới học lớp 5