Ta có

2x=2+2^2+2^3+...+2^2016

=>2x-x=(2+2^2+2^3+...+2^2016)-(1+2+2^2+...+2^2015)

=>x=2^2016-1 

Mà y =2016

Nên x,y là 2 so tu nhien lien tiep

\(x=1+2+2^2+....+2^{2015}\)

\(2x=2+2^3+2^4+...+2^{2016}\)

\(2x-x=\left(2+2^3+2^4+...+2^{2016}\right)-\left(1+2+2^2+....+2^{2015}\right)\)

\(x=2^{2016}-1\)

Vì \(x=2^{2016}-1;y=2^{2016}\)

Vậy x và y là 2 số tự nhiên tiếp nhau

x = 1+2+2^2+2^4+2^6+...+2^2010
2x = 2+2^2+.....+2^2011
2x-x = 2^2011 - 1 = x
y = 2^2011
=> ĐCCM
 

Ta có : \(3y^2+1=4x^2\)

\(\Leftrightarrow3y^2=4x^2-1\)

\(\Leftrightarrow3y^2=\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)\)

Mà : \(2x+1\) và \(2x-1\) nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-1=3m^2\\2x+1=n^2\end{cases}}\) hoặc \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-1=m^2\\2x+1=3n^2\end{cases}}\)

TH 1 : \(\hept{\begin{cases}2x-1=3m^2\\2x+1=n^2\end{cases}}\). Ta có : \(n^2=3m^2+2\equiv2\left(mod3\right)\) ( loại )

TH 2 : \(\hept{\begin{cases}2x-1=m^2\\2x+1=3n^2\end{cases}}\) . Dễ thấy m lẻ \(\Rightarrow m=2k+1\)

Khi đo s: \(2x-1=\left(2k+1\right)^2\) 

\(\Rightarrow x^2=k^2+\left(k+1\right)^2\) ( đpcm )

Tại sao 2x+1 và 2x-1 lại nguyên tố cùng nhau vậy bạn?

Chứng minh nó nguyên tố :

Đặt \(\left(2x-1,2x+1\right)=d\)

Khi đó : \(\hept{\begin{cases}2x-1⋮d\\2x+1⋮d\end{cases}}\) \(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow d\in\left\{1,2\right\}\) 

Mà : \(2x-1⋮̸2\)

Vì vậy : \(d=1\)

2x=2+2²+2³+....+2²⁰⁰⁴

2x-x=(2+2²+2³+....+2²⁰⁰⁴)-(1+2+2²+....+2²⁰⁰³)

x=2²⁰⁰⁴-1

mà y=2²⁰⁰⁴ 

suy ra x và y là hai số tự nhiên liên tiếp

Ta có : X = 1 + 2 + 2² + ..... + 2²⁰¹⁶

=> 2X = 2 + 2² + 2³ + ..... + 2²⁰¹⁷

=> 2X - X = 2²⁰¹⁷ - 1

=> X = 2²⁰¹⁷ - 1

Mà Y = 2²⁰¹⁷ nên hiệu hai X - Y = 1

Vậy hai số X và Y là hai số tự nhiên liên tiếp

Ta có : \(X=1+2^2+2^4+.....+2^{2010}\)

\(\Rightarrow2^2X=2^2+2^6+2^8+.....+2^{2012}\)

\(4X=2^2+2^6+2^8+.....+2^{2012}\)

\(4X-X=2^{2012}-1\)

\(3X=2^{2012}-1\)

\(X=\frac{2^{2012}-1}{3}\) (sai đề nhé ) 

ta có: X=\(1+2+2^2...2^{2010}\Rightarrow2X=2+2^2+...2^{2011}\)

\(\Rightarrow2X-X=\left(2+2^2...2^{2011}\right)-\left(1+2+...2^{2010}\right)\)

\(\Rightarrow X=2^{2011}-1\)

xét hiêu Y-X=\(2^{2011}-\left(2^{2011}-1\right)=1\)

vậy X,Y là 2 số tự nhiên liên tiếp

Hokage Naruto sai đề