Cho a,b,c thỏa mãn -1< a,b,c< 3,a+b+c=3.Chứng minh ab+bc+ca>-1
tất cả dấu lớn ,bé hơn đều có bé,lớn hơn hoặc bằng nhé
Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng ab+bc+ca bé hơn hoặc bằng 0
Đề : ab + 4bc + ca \(\le\)0
Có : a + b + c = 0 => a = - b - c
Thay vào ab + 4bc + ca \(\le\)0 ta đc:
(-b - c).b + 4bc + c.(-b - c) \(\le\) 0
=> -b2 - bc + 4bc - bc - c2 \(\le\)0
=> -b2 - c2 + 2bc \(\le\)0
=> - (b2 - 2bc + c2) \(\le\) 0
=> -(b - c)2 \(\le\) 0 (luôn đúng)
Vậy ab + 4bc + ca \(\le\) 0
Cho a, b, c thỏa mãn: a+b+c=0. Chứng minh rằng: ab+bc+ca bé hơn hoặc bằng 0
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=3 . Chứng minh rằng : ab+bc+ca+a+b+c bé hơn hoặc bằng 6
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le9\Rightarrow a+b+c\le3\left(1\right)\)
Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\left(2\right)\)
Cộng vế với vế của\(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:
\(a+b+c+ab+bc+ca\le3+3=6\left(đpcm\right)\)
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
Cho a,b,c thuộc R thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 chứng minh rằng: Q = \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\)bé hơn hoặc bằng 2
cho a,b,c thỏa mãn: a+b+c=0. chứng minh:ab+bc+ca bé hơn hoặc bằng 0
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge0\)nên \(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\left(đpcm\right)\)
Ta có : a + b + c = 0
\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c
Ta có : ab + 2bc + 3ca
= ab + 2bc + ca + 2ca
= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )
= a ( b + c ) + 2c ( a + b )
= a ( - a ) + 2c ( - c )
= - a2 - 2c2
= - ( a2 + 2c2 ) ( * )
Mà : a2 \(\geq\) 0 ; 2c2 \(\geq\) 0
\( \implies\) a2 + 2c2 \(\geq\) 0 ( ** )
Từ ( * ) ; ( ** )
\( \implies\) - ( a2 + 2c2 ) \(\leq\) 0
\( \implies\) ab + 2bc + 3ca \(\leq\) 0
Xin lỗi mình đăng nhầm
Cho a,b,c thõa mãn a^2+b^2+c^2=3
Chứng minh rằng ab+bc+ca+a+b+c bé hơn hoặc bằng 6
Giúp mình với. Cảm ơn ạ <3
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh ab+bc+ca nhỏ hơn hoặc bằng 3/4.help me
Trước tiên chứng minh:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
(nhân vô rút gọn chuyển hết sang trái được)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-6abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b-2abc+c^2b\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)+\left(b^2a-2abc+c^2a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{b}\right)^2+\left(a\sqrt{c}-b\sqrt{c}\right)^2+\left(b\sqrt{a}-c\sqrt{a}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta có:
\(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{4\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)}\)
\(\le\frac{9}{4.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=\frac{9}{4.3}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(ab+bc+ca\le\frac{3}{4}\)
1 cách khác của tui (câu hỏi của trg tuấn nghĩa) trên hh nhé
Trương Tuấn Nghĩa là cái tên mạo danh tui ấy hả?
Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)nhỏ hơn hoặc bằng 3
Chứng minh rằng \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)lớn hơn hoặc bằng 3
Ta có: \(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab}{1+b^2}\)
\(1+b^2\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{ab^2}{1+b^2}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)\(\Rightarrow-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge-\frac{ab}{2}\)
Do đó: \(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\); \(\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Suy ra \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\)
Mặt khác ta có: \(3\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\le1\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Do đó; \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{ab+bc+ca}{2}\ge a+b+c\ge3\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)