1. Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua C vuông góc với CD cắt đường thẳng qua A vuông góc với BD tại F. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường trung trực của AC tại E. Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K. Tính tỉ số \(\frac{KE}{KF}\)

2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O). M trung điểm BC, N đối xứng với M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. CMR:

a) BA.BC = 2BD.BE

b) CD đi qua trung điểm của đường cao AH của ttam giác ABC.

3. Có 10 vận động viên tham gia đấu quần vợt. Cứ 2 người trong họ chơi với nhau đúng 1 trận. Người thứ nhất thắng x₁ trận và thua y₁ trận; người thứ hai thắng x₂ trận và thua y₂ trận; ...; người thứ mười thắng x₁₀ trận và thua y₁₀ trận. Biết trong 1 trận đấu quần vợt ko có kết quả hòa. CMR: \(x_1^2+x_2^2+...+x_{10}^2=y_1^2+y_2^2+...+y_{10}^2\)

Có 100 vận động viên tham gia một giải thi đấu bóng bàn theo thể thức loại trực tiếp,
nghĩa là vận động viên thua sẽ bị loại ngay (không có trận đấu hòa). Theo thể lệ cuộc
thi, hai vận động viên chỉ có thể được thi đấu với nhau nếu chênh lệch giữa số trận đã
thi đấu của họ không quá 1. Biết rằng cuối cùng, chỉ còn lại đúng một người vô địch,
tất cả vận động viên khác đều đã bị loại. Hỏi nhà vô địch thể thắng nhiều hơn 9 trận
được không? Tại sao?

​

Ba người bạn A, B và C cùng chơi bóng bàn. Họ chơi theo luật hai người đấu một trận, người thắng chơi trận kế tiếp với người đang chờ, người thua sẽ ra sân để chờ tới lượt sau.Vậy ai là người thua ở ván đấu thứ 2?Cuối cùng, họ tổng kết lại số ván đấu mà họ đã tham gia. Kết quả, A chơi 10 trận, B đấu 15 ván và C tham gia vào 17 ván.