a: Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD đồng dạng với ΔACE

=>\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\)

=>\(AB\cdot AE=AD\cdot AC\)(3)

b: Sửa đề: Gọi P là trung điểm của MN.Chứng minh AP vuông góc MN

Xét ΔAMC vuông tại M có MD là đường cao

nên \(AD\cdot AC=AM^2\left(1\right)\)

Xét ΔANB vuông tại N có NE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AN^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) và (3) suy ra AM=AN

ΔAMN cân tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên AP\(\perp\)MN

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

góc BAE chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔACF

=>AB/AC=AE/AF

=>AE/AB=AF/AC và AE*AC=AB*AF

b: Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc A chung

=>ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>góc AEF=góc ACB

c; góc AFH=góc AEH=90 độ

=>AFHE nội tiếp (I)

=>IF=IE

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp (M)

=>MF=ME

=>MI là trung trực của EF

=>MI vuông góc EF

Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{EAC}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(AD\cdot AC=AB\cdot AE\left(1\right)\)

Xét ΔANB vuông tại N có NE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AB\cdot AE=AN^2\left(2\right)\)

Xét ΔAMC vuông tại M có MD là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AD\cdot AC=AM^2\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM=AN

a) Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)

Xét ΔABC và ΔAEF có

\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔAEF(c-g-c)