a/ Ta có AN vuông góc AC; HM vuông góc AC => AN//HM (1)

Ta có AM vuông góc AB; HN vuông góc AB => AM//HN (2)

=> Tứ giác AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

AH; MN là hai đường chéo của hbh nên chúng cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

b/ Trước hết ta phải c/m A, I, K thẳng hàng

Nối AI; AK

+ Xét tam giác AHK có

Hình bình hành AMHN có ^MAN=90 => ^ANM =90 => AN vuông góc HK nà NK=NH

=> tam giác AKH cân tại A (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tam giác cân)

=> ^KAN=^HAN (1) (trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường phân giác)

+ Xét tam giác AIH chứng minh tương tự ta cũng có

^HAM=^IAM (2)

+ Mà ^HAN+^HAM=^BAC=90 (3)

Từ (1) (2) (3) => ^KAN+^IAM=^HAN+^HAM=90

=> ^KAN+^HAN+HAM+^IAM=180 => A,I,K thẳng hàng

+ Ở trên ta đã chứng minh được tam giác AKH và tam giác AIH là tam giác cân tại A

=> AK=AH=AI => A là trung điểm của IK

+ Xét tam giác

mình chưa học hình bình hành hay tứ giác

a/

Ta có

\(\widehat{A}=90^o;\widehat{MHN}=90^o\) => A và H cùng nhìn MN dưới 1 góc vuông nên A; H thuộc đường tròn đường kính MN => A; M; H; N cùng thuộc 1 đường tròn

Xét tg vuông AHC có

\(MA=MC\Rightarrow HM=MA=MC=\dfrac{AC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMH cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAH}=\widehat{MHA}\)

Mà

 \(\widehat{NAH}+\widehat{MAH}=\widehat{A}=90^o\)

\(\widehat{NHA}+\widehat{MHA}=\widehat{MHN}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) => tg NAH cân tại N => NA=HN (1)

Xét tg vuông ABH có

\(\widehat{NAH}+\widehat{B}=90^o\)

\(\widehat{NHA}+\widehat{NHB}=\widehat{AHB}=90^o\)

Mà \(\widehat{NAH}=\widehat{NHA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{NHB}\) => tg BHN cân tại N => NB=HN (2)

Từ (1) và (2) => NA=NB => N là trung điểm AB

b/

Ta có

NA=NB (cmt); MA=MC (gt) => MN là đường trung bình của tg ABC

=> MN//BC

Gọi O là giao của MN với AH. Xét tg ABH có

MN//BC => NO//BH

NA=NB (cmt)

=> OA=OH (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) => O à trung điểm AH

Ta có

\(HE\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HE//AC => HE//AF

\(HF\perp AC\left(gt\right);AB\perp AC\left(gt\right)\) => HF//AB => HF//AN

=> AEHF là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Gọi O' là giao của EF với AH => O'A=O'H (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => O' là trung điểm của AH

Mà O cũng là trung điểm của AH (cmt)

=> \(O'\equiv O\) => AH; MN; EF cùng đi qua O

sai hay đúng?

HN//AB

=>góc NHA=góc HAM

=>góc NHA=góc MHA

=>HA là phân giác của góc NHM

HC vuông góc HA

=>HC là phân giác ngoài của ΔIHN

a: Xét tứ giác AMHK có

góc AMH=góc AKH=góc KAM=90 độ

=>AMHK là hình chữ nhật

=>AH=MK

b: Xét ΔAHD có

AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔAHD cân tại A

=>AH=AD và AB là phân giác của góc HAD(1)
Xét ΔHEA có

AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔAHE cân tại A

=>AH=AE và AC là phân giác của góc HAE(2)

Từ (1), (2) suy ra góc DAE=2*90=180 độ

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE

nên A là trung điểm của DE

c: Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

góc HAB=góc DAB

AB chung

=>ΔAHB=ΔADB

=>góc ADB=90 dộ

=>BD vuông góc DE(3)

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

góc HAC=góc EAC

AC chung

=>ΔAHC=ΔAEC

=>goc AEC=90 độ

=>CE vuông góc ED(4)

Từ (3), (4) suy ra BD//CE