Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)

\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)

\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)

Cộng vế với vế ta được :

\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Đức Hùng hình như áp dụng sai  ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz Engel, ta được:

T\(\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)+x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\)-(x+y+z+\(\sqrt{xy}\)+\(\sqrt{yz}\)+\(\sqrt{zx}\))

Áp dụng BĐT AM-GM , ta được:

T\(\ge\)2(x+y+z)-x-y-z-\(\frac{x+y+z}{2}\)=\(\frac{x+y+z}{2}\)\(\ge\)\(\frac{2019}{2}\)

Vậy: GTNN của A=\(\frac{2019}{2}\)khi x=y=z=673

\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\)(bunhiacopxki dạng phân thức)

=>\(T>=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}}\)

=>\(T>=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+yz\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2019}{2}\)

xảy ra dấu= khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{2019}{3}\)

hello

\(Q=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{1^2}{xy}+\frac{1^2}{yz}+\frac{1^2}{xz}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+xz}\)

\(=\frac{9}{xy+yz+zx}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\).

Dấu " = " xảy ra <=> x = y =z = \(\sqrt{2}\).

các bạn giải nhanh cho mình nhé vì mình đang cần gấp

Mình nghĩ bạn viết hơi sai đề bài.

\(x^2+xz-y^2-yz=\left(x^2-y^2\right)+xz-yz=\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)\)

Tương tự: \(y^2+xy-z^2-xz=\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)\)

\(z^2+yz-x^2-xy=\left(x+y+z\right)\left(z-x\right)\)

Khi đó:

 \(P=\frac{1}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)\left(z-x\right)}\)

\(=\frac{z-x+x-y+y-z}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x+y+z\right)}=0\)

um, cảm ơn bạn Pham Van Hung, có lẽ là mình chép sai đầu bài

Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz

Ta có : 

\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)

                                                                                                                   \(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)

Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra 

\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)

Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z 

Nguồn : Đinh Đức Hùng 

theo sách nâng cao và phát triển toàn 9 ta có \(A\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}{2}\)

Ta có :

\(P=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\)  (1)

 Do : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\), nên từ (1) ta có :

\(P\ge\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\)

\(P\ge\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{y^2}{2}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{z^2}{2}+\frac{1}{z}\right)\)   (2)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2}{2}+\frac{1}{t};t>0\)

 Ta có : \(f'\left(t\right)=t-\frac{1}{t^2}=\frac{t^3-1}{t^2}\)

Lập bảng biến thiên sau :

Từ đó suy ra :

            \(f\left(t\right)\ge\frac{3}{2}\) với mọi \(t>0\)

Vì lẽ đó từ (2) ta có : \(P\ge3.\frac{3}{2}\) với mọi \(x,y,z>0\)

Mặt khác khi \(x=y=z\) thì \(P=\frac{9}{2}\) vậy Min \(P=\frac{9}{2}\)