Kẻ \(CG\perp EF\), \(BN\perp EF\)( \(G,N\in EF\))

Xét tam giác BMN vuông tại N và tam giác CMG vuông tại G có;

                                       BM = CM( M là trung điểm của BC)

                                       \(\widehat{BMN}=\widehat{CMG}\)(đối đỉnh)

                       => \(\Delta BMN=\Delta CMG\)(cạnh huyền - góc nhọn)

                        => BN = CG.

       Gọi P là giao của đường phân giác góc BAC và EF.

           Tam giác AEF có AP vừa là đường phân giác, vừa là đường cao => Tam giác AEF cân tại A.

 => \(\widehat{AEF}=\widehat{AFE}\)mà \(\widehat{AEF}=\widehat{BEN}\)(đối đỉnh) => \(\widehat{BEN}=\widehat{AFE}\).

=> \(90^0-\widehat{BEN}=90^0-\widehat{AFE}\)=> \(\widehat{GCF}=\widehat{NBE}\)

          Xét tam giác GCF vuông tại G và tam giác NBE vuông tại N có:

                                                  BN = CG( chứng minh trên)

                                                  \(\widehat{GCF}=\widehat{NBE}\)(chứng minh trên)

                 => \(\Delta GCF=\Delta NBE\)(cạnh góc vuông - góc nhọn kề) => BE = CF(đpcm)

pika pi

Do Az là phân giác CAxˆ→CAzˆ=xAzˆ(1)CAx^→CAz^=xAz^(1)

Do Az // BC →ABCˆ=xAzˆ→ABC^=xAz^ ( 2 góc đồng vị ) (2) 

và ACBˆ=CAzˆACB^=CAz^ ( 2 góc so le trong ) (3)

Từ (1); (2) và (3) \Rightarrow ABCˆ=ACBˆABC^=ACB^ ( đpcm ) 
 

bạn biết làm chưa chỉ cho tui đi

1). Tam giác ABF và tam giác ACE ần lượt cân tại F, E và

F B A ^ = E C A ^ = A ^ 2 ⇒ Δ A B F ∽ Δ A C E .

2). Giả sử G là giao điểm của BE và CF.

Ta có  G F G C = B F C E = A B A C = D B D C ⇒ G D ∥ F B   , và  F B ∥ A D  ta có  G ∈ A D .

3). Chứng minh  B Q G ^ = Q G A ^ = G A E ^ = G A C ^ + C A E ^ = G A B ^ + B A F ^ = G A F ^ , nên AGQF nội tiếp, và Q P G ^ = G C E ^ = G F Q ^ , suy ra tứ giác FQGP nội tiếp.

1) Chứng minh rằng tam giác \( A B F \) đồng dạng với tam giác \( A C E \):

- Tam giác \(ABF\) và \(ACE\) có:
  + Góc \(A\) chung.
  + Góc \(BAF\) bằng góc \(CAE\) (vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) và \(CF\), \(BE\) song song với \(AD\)).
  
  Do đó, tam giác \(ABF\) đồng dạng với tam giác \(ACE\) (theo trường hợp góc-góc).

2) Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy:

- Gọi \(G\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\).
- \(AD\) là phân giác góc \(BAC\), và \(BE\), \(CF\) song song với \(AD\). Do đó, \(G\) cũng nằm trên phân giác \(AD\).
- Vậy \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại \(G\).

3) Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn:

- Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) là \(\omega\).
- \(QE\) cắt \(\omega\) tại \(P\) khác \(E\), vậy \(P\) nằm trên đường tròn \(\omega\).
- \(GQ\) song song với \(AE\), và \(AE\) là đường kính của \(\omega\) (vì \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) nằm trên phân giác của \(BAC\)). Do đó, \(GQ\) là dây cung của \(\omega\).
- \(PF\) là tiếp tuyến của \(\omega\) tại \(P\) (vì \(QE\) là tiếp tuyến và \(PF\) là phần kéo dài của \(QE\)).
- Góc \(PGF\) bằng góc \(GAC\) (cùng chắn cung \(GC\) của \(\omega\)).
- \(AF\) là trung trực của \(AB\), nên \(ABF\) là tam giác cân tại \(A\). Do đó, góc \(AFB\) bằng góc \(ABF\).
- Góc \(ABF\) bằng góc \(GAC\) (do đồng dạng của tam giác \(ABF\) và \(ACE\)).
- Vậy, góc \(PGF\) bằng góc \(AFB\). Do đó, \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.