Cho tam giác ABC (AB < AC). M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Kẻ PH vuông góc với AB, kẻ PK vuông góc với AC.
1, Chứng minh : PB = PC và BH = CK.
2, Chứng minh ba điểm H,M,K thẳng hàng.
3, Gọi O là giao điểm của PA và HK. Chứng minh : \(OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=PA^2\)
a ) a.Vì P∈Trung trực của BC
\(\Rightarrow PB=PC\)
Ta có : AP là phân giác \(\widehat{BAC},PH\perp AB,PK\perp AC\Rightarrow PH=PK\)
Mà \(\widehat{PHB}=\widehat{PKC}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta PBH=\Delta PCK\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow BH=CK\)
b ) Ta có : \(PH=PK,\widehat{PHA}=\widehat{PKA}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta PHA=\Delta PKA\)(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow AH=AK\)
\(\Rightarrow\Delta AHK\) cân tại A
Mà AP là phân giác ^A
\(\Rightarrow AP\perp HK\)
Qua B kẻ BE // AK , \(E\in HK\)
\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{AKH}\)
Do \(\Delta AHK\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{AHK}\)
\(\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{BHE}\Rightarrow BH=BE\)
Mà \(BH=CK\Rightarrow BE=CK\)
Lại có BE // CK => \(\widehat{EBM}=\widehat{MCK}\)
Do M là trung điểm BC \(\Rightarrow MB=MC\Rightarrow\Delta EBM=\Delta KCM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{KMC}\)
\(\Rightarrow\widehat{EMK}=\widehat{BME}+\widehat{BMK}=\widehat{CMK}+\widehat{BMK}=\widehat{BMC}=180^0\)
\(\Rightarrow E,M,K\) thẳng hàng
\(\Rightarrow H,M,K\) thẳng hàng vì E , H , K thẳng hàng
c ) Do \(PA\perp HK\) ( câu a )
\(\Rightarrow AP\perp HK=O\)
Kết hợp AH = AK \(\Rightarrow O\) là trung điểm HK
\(\Rightarrow OH=OK\)
\(\Rightarrow OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=OA^2+OP^2+OH^2+OH^2\)
\(=\left(OA^2+OH^2\right)+\left(OP^2+OH^2\right)\)
\(=AH^2+PH^2\)
\(=AP^2,\left(PH\perp AB\right)\)
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC. a) Chứng minh: PB = PC và BH = CK. b) Chứng minh: Ba điểm H, M, K thẳng hàng. c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.Chứng minh: 2 2 2 2 2 OA OP OH OK PA .
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC. a) Chứng minh: PB = PC và BH = CK. b) Chứng minh: Ba điểm H, M, K thẳng hàng. c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.Chứng minh:OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=PA^2.
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Vẽ PH và PK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và đường thẳng AC. a) Chứng minh: PB = PC và BH = CK. b) Chứng minh: Ba điểm H, M, K thẳng hàng. c) Gọi O là giao điểm của PA và HK.Chứng minh:OA^2+OP^2+OH^2+OK^2=PA^2.
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại A, từ B kẻ đường thẳng x vuông góc với AB, từ C kẻ đường thẳng y vuông góc với AC, x cắt y tại M.
Chứng minh: AM là tia phân giác của góc BAC.
Bài 2:
Cho tam giác ABC có AB<AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực BC tại I. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AC.
Chứng minh: BH = CK.
Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I.
Chứng minh: AI là tia phân giác của góc BAC.
Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại A, từ B kẻ đường thẳng x vuông góc với AB, từ C kẻ đường thẳng y vuông góc với AC, x cắt y tại M.
Chứng minh: AM là tia phân giác của góc BAC.
Bài 2:
Cho tam giác ABC có AB<AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực BC tại I. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AC.
Chứng minh: BH = CK.
Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I.
Chứng minh: AI là tia phân giác của góc BAC.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Tia phân giác góc BAC cắt đường trung trực của BC tại D. Kẻ DH vuông góc với AB, DK vuông góc với AC
a) Tứ giác AHDK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh BH=CK
c) Giả sử AC= 8cm; BC=10cm. Gọi M là trung điểm BC. Tính diện tích tứ giác BHDM
Tứ giác AHDK có \(\widehat{H}\)=\(\widehat{A}\)= \(\widehat{K}\)= 900 nên là hình chữ nhật
Hình chữ nhật AHDK có đường chéo AD là phân giác \(\widehat{A}\)nên là hình vuông
Cho tam giác ABC có AB<AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB. Kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh BH=CK
a: Xét tứ giác AHDK có
\(\widehat{AHD}=\widehat{AKD}=\widehat{KAH}=90^0\)
=>AHDK là hình chữ nhật
Hình chữ nhật AHDK có AD là phân giác của góc HAK
nên AHDK là hình vuông
