Vì \(\widehat{BAC}=60^o\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=120^o\)

Mà BI,CI là tia phân giác góc \(\widehat{ABC},\widehat{ACB}\)

\(\Rightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=60^o\Rightarrow\widehat{BIC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=60^o\Rightarrow sđ\widebat{BC}=120^o\)

Mà \(\widehat{BOC}=sđ\widebat{BC}=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BIC}=\widehat{BOC}=120^o\)

Suy ra tứ giác BIOC nội tiếp hay B,O,I,C cùng thuộc 1 đường tròn

Chứng minh được  B I C ^ = 120 0

=>  B O C ^ = 2 B A C ^ = 120 0 =>  B H C ^ = 180 0 - 60 0 = 120 0  (góc nội tiếp và góc ở tâm)

=> H, I, O cùng nhìn BC dưới góc 120 0  nên B, C, O, I, H cùng thuộc một đường tròn

(hai góc đối đỉnh)

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng trên đoạn BC.

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng trên đoạn BC.

Kiến thức áp dụng

+ Các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng cố định dưới cùng một góc α thì đều thuộc cùng một đường tròn.  

cách làm thôi nha

GỌi D là gia điểm của AM zới đường tròn (O)

CM các tam giác DBI . DBM cân 

=> DI=DM

DO đó OD là đường trung bình của tam giác MIK

=> KM=2OD=2R

Zậy M thuộc đường tròn (K;2R)

tương tự đối zới các điểm N , P

Ta có: = 2 = 2.60^o = 120^o (1)

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

và = (đối đỉnh)

mà = 180^o - = 180^o - 60^o = 120^o

nên = 120^{o (2)}

= +

= 60^o + = 60^o+ 60^o

(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó = 120^o

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn

Ta có: \(\widehat{BOC}\) = 2\(\widehat{BAC}\) = 2.60^o = 120^o (1)

(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

và \(\widehat{BHC}\) = \(\widehat{B'HC'}\) (đối đỉnh)

mà \(\widehat{B'HC'}\) = 180^o - \(\widehat{A}\) = 180^o - 60^o = 120^o

nên \(\widehat{BHC}\) = 120^{o (2)}

\(\widehat{BIC}\) = \(\widehat{A}\) + \(\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\)

= 60^o + \(\dfrac{180^0-60^0}{2}\) = 60^o+ 60^o

(sử dụng góc ngoài của tam giác)

Do đó \(\widehat{BIC}\) = 120^o

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc 120^o dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn

a) Xét tứ giác BFEC có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

hay B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

Tâm I là trung điểm của BC

1) Ta có

  B I C ^ = 180 0 − I B C ^ − I C B ^ = 180 0 − A B C ^ 2 − A C B ^ 2 = 180 0 − 180 ∘ − B A C ^ 2 = 90 0 + B A C ^ 2 ⇔ B A C ^ = 2 B I C ^ − 180 °

Tương tự B Q C ^ = 90 0 + B P C ^ 2 ⇔ B P C ^ = 2 B Q C ^ − 180 ° .

Tứ giác BPAC nội tiếp, suy ra B A C ^ = B P C ^ ⇒ B Q C ^ = B I C ^ , nên 4 điểm B, I, Q, C thuộc một đường tròn.

2) Gọi đường tròn (B; BI) giao (C; CI) tại K khác I thì K cố định.

Góc I B M ^  là góc ở tâm chắn cung I M ⏜  và I K M ^  là góc nội tiếp chắn cung  I M ⏜ , suy ra I K M ^ = 1 2 I B M ^  (1).

Tương tự I K N ^ = 1 2 I C N ^  (2).

Theo câu 1) B, I, Q, C thuộc một đường tròn, suy ra  I B M ^ = I B Q ^ = I C Q ^ = I C N ^  (3).

Từ (1), (2) và (3), suy ra I K M ^ = I K N ^ ⇒ K M ≡ K N .

Vậy MN đi qua K cố định.