Giả sử d đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Rightarrow\) Với mọi m ta có:

\(y_0=\left(m+1\right)x_0-3m+4\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-3\right)+x_0-y_0+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-3=0\\x_0-y_0+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=3\\y_0=7\end{matrix}\right.\)

Vậy với mọi m thì đường thẳng luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left(3;7\right)\)

\(a,\) Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của \(\left(d\right)\) với trục hoành và trục tung

Khi \(x=0\Rightarrow y=m\Rightarrow M\left(0;m\right)\)

Khi \(y=0\Rightarrow\left(m-1\right)x+m=0\Rightarrow x=\dfrac{-m}{m-1}\Rightarrow N\left(\dfrac{-m}{m-1};0\right)\)

Gọi H là chân đg vuông góc kẻ từ O đến MN

Áp dụng HTL:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{1^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{-m}{m-2}\right)^2}\\ \Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2}{m^2}=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow4\left(m-2\right)^2=3m^2\\ \Rightarrow4m^2-16m+16-3m^2=0\\ \Rightarrow m^2-16m+16=0\\ \Delta=256-4\cdot16=192\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{16-8\sqrt{3}}{2}=8-4\sqrt{3}\\m=\dfrac{16+8\sqrt{3}}{2}=8+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Giả sử A là điểm cố định của \(y=\left(m-1\right)x+m\). Khi đó \(\left(d\right)\) luôn đi qua A với mọi m. Xét \(m=1\Rightarrow y=1\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua điểm có tung độ bằng 1

Với \(m=2\Rightarrow2=\left(2-1\right)x+2\Rightarrow x=0\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua điểm \(A\left(0;1\right)\)

 Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của  với trục hoành và trục tung

Khi 

Khi ⇒(m−1)x+m=0⇒x=−mm−1⇒N(−mm−1;0)y=0⇒(m−1)x+m=0⇒x=−mm−1⇒N(−mm−1;0)

Gọi H là chân đg vuông góc kẻ từ O đến MN

Áp dụng HTL:

4,75 giờ là đúng

Gọi điểm cố định mà đường thẳng đã cho luôn đi qua là ( \(\left(x_0;y_0\right)\))

Ta cần tìm \(x_0,y_0\) để chứng mình điểm cố định tồn tại 

Ta thấy :
\(y_0=\left(m+4\right)x_0-m+6,\forall m\)

\(\Leftrightarrow mx_0+4x_0-m+6-y_0=0,\forall m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)+\left(4x_0+6-y_0\right)=0,\forall m\)

Điều này xảy ra khi 

\(\hept{\begin{cases}x_0-1=0\\4x_0+6-y_0=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=1\\y_0=10\end{cases}}}\)

Vậy đường thẳng \(y=\left(m+4\right)x-m+6\) luôn đi qua điểm cố định \(\left(1,10\right)\) khi m thay đổi 

a) Mặt phẳng (M, d) cắt (α) theo giao tuyến M 1 M 2 . Điểm A cũng thuộc giao tuyến đó. Vậy đường thẳng M 1 M 2  luôn luôn đi qua điểm A cố định.

b) Mặt phẳng (M, d) cắt (β) theo giao tuyến BM. Điểm K thuộc giao tuyến đó nên ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Giả sử b cắt m tại I thì mặt phẳng ( S 1 ,   b ) luôn luôn cắt (α) theo giao tuyến I M 1 . Do đó điểm M 1  di động trên giao tuyến của I M 1  cố định. Còn khi M di động trên b thì mặt phẳng ( S 2 ,   b ) cắt (α) theo giao tuyến I M 2 . Do đó điểm M 2  chạy trên giao tuyến I M 2 cố định.