\(\sqrt{28n^2+1}=k\)

\(A=2k+2=4\left(\frac{k+1}{2}\right)\)

\(k^2=28n^2+1\)

\(k^2-1=28n^2\)

\(\frac{k^2-1}{28}=n^2\)

Suy ra\(k^2-1\)chia hết cho 7 vì tử nguyên mẫu nguyên mà thương cũng nguyên nên tử chia hết cho mẫu mà 28 chia hết cho 7

\(k^2\equiv1\left(mod7\right)\)

\(k\equiv1\)(mod7)

k-1 chia hết cho 7

Có \(n^2=\frac{k^2-1}{28}=\left(\frac{k-1}{14}\right)\left(\frac{k+1}{2}\right)\)

2 số trên nguyên tố cùng nhau

mà tích là số chính phương nên 2 số trên đều là số chính phương

(k+1)/2 chính phương

\(A=4\left(\frac{k+1}{2}\right)\)tích 2 số cp nên a cp

Do  \(n\in N^{\text{*}}\)  \(\left(o\right)\) nên ta dễ dàng suy ra  \(2+2\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\)

Do đó,  \(2\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\)  dẫn đến  \(\sqrt{28n^2+1}\in Q\)  

Lại có:  \(28n^2+1\)  luôn là một số nguyên dương (do  \(\left(o\right)\))   nên   \(\sqrt{28n^2+1}\in Z^+\)

hay nói cách khác, ta đặt  \(\sqrt{28n^2+1}=m\)  (với  \(m\in Z^+\)  )

\(\Rightarrow\)  \(28n^2+1=m^2\)   \(\left(\alpha\right)\)

\(\Rightarrow\)    \(m^2-1=28n^2\)  chia hết cho  \(4\)

Suy ra  \(m^2\text{ ≡ }1\)    \(\left(\text{mod 4}\right)\)  

Hay \(m\) phải là một số lẻ có dạng \(m=2k+1\)  \(\left(k\in Z^+\right)\)

Từ  \(\left(\alpha\right)\)  suy ra  \(28n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\)

nên  \(7n^2=k\left(k+1\right)\)

Theo đó,  ta có:  \(\orbr{\begin{cases}k\\k+1\end{cases}\text{chia hết cho 7}}\)  

Xét hai trường hợp sau:

\(\text{Trường hợp 1}:\)\(k=7q\) \(\left(q\in Z^+\right)\)

Suy ra   \(7n^2=7q\left(7q+1\right)\)

\(\Rightarrow\)  \(n^2=q\left(7q+1\right)\)  \(\left(\beta\right)\)

Mặt khác, vì  \(\left(q,7q+1\right)=1\)  nên  từ  \(\left(\beta\right)\)  suy ra  \(\hept{\begin{cases}q=a^2\\7q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow}\)  \(7a^2+1=b^2\)  \(\left(\gamma\right)\)

Tóm tại tất cả điều trên, ta có:

\(A=2+2\sqrt{28n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.7q=4+28q\)

Khi đó,  \(A=4+28a^2=4\left(7a^2+1\right)=4b^2\)  (do  \(\left(\gamma\right)\)  )

Vậy,  \(A\)  là số chính phương với tất cả các điều kiện nêu trên

\(\text{Trường hợp 2:}\)\(k+1=7q\)

Tương tự

cảm ơn bn

th2 có thỏa mãn k bn?

\(n=\frac{\left(127+24\sqrt{28}\right)^k-\left(127-24\sqrt{28}\right)^k}{2\sqrt{28}}\)

k thuộc N*

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

a: \(A=28n^2+27n+5\)

\(=28n^2+20n+7n+5\)

\(=4n\left(7n+5\right)+\left(7n+5\right)\)

\(=\left(4n+1\right)\left(7n+5\right)\)

Nếu n=0 thì \(A=\left(4\cdot0+1\right)\left(7\cdot0+5\right)=1\cdot5=5\) là số nguyên tố

=>Nhận

Khi n>0 thì (4n+1)(7n+5) sẽ là tích của hai số nguyên dương khác 1

=>A=(4n+1)(7n+5) không thể là số nguyên tố

=>Loại

Vậy: n=0

b: \(B=n\left(n^2+n+7\right)-2\left(n^2+n+7\right)\)

\(=\left(n^2+n+7\right)\left(n-2\right)\)

Để B là số nguyên tố thì B>0

=>\(\left(n^2+n+7\right)\left(n-2\right)>0\)

=>n-2>0

=>n>2
\(B=\left(n^2+n+7\right)\left(n-2\right)\)

TH1: n=3

\(B=\left(3^2+3+7\right)\left(3-2\right)=9+3+7=9+10=19\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH2: n>3

=>n-2>1 và \(n^2+n+7>1\)

=>\(B=\left(n-2\right)\left(n^2+n+7\right)\) là tích của hai số nguyên dương lớn hơn 1

=>B chắc chắn không thể là số nguyên tố

=>Loại

c: \(C=n\left(n^2+n+7\right)+\left(n^2+n+7\right)\)

\(=\left(n^2+n+7\right)\left(n+1\right)\)

TH1: n=0

=>\(C=\left(0+0+7\right)\left(0+1\right)=7\cdot1=7\) là số nguyên tố

=>Nhận

TH2: n>0

=>n+1>0 và \(n^2+n+7>1\)

=>\(C=\left(n+1\right)\left(n^2+n+7\right)\) là tích của hai số nguyên dương lớn hơn 1

=>C chắc chắn không thể là số nguyên tố

=>Loại

d: \(D=n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Để D là số nguyên tố thì D>0

=>(n-1)(n+1)>0

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}n-1>0\\n+1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}n>1\\n>-1\end{matrix}\right.\)

=>n>1

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}n-1< 0\\n+1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}n< 1\\n< -1\end{matrix}\right.\)

=>n<-1

Khi n=2 thì \(D=2^2-1=4-1=3\) là số nguyên tố(nhận)

Khi n>2 thì n-1>1 và n+1>3>1

=>D=(n-1)(n+1) là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1

=>D không là số nguyên tố

=>Loại

Khi n=-2 thì \(D=\left(-2\right)^2-1=4-1=3\) là số nguyên tố

=>Nhận

Khi n<-2 thì n-1<-3 và n+1<-1

=>D=(n-1)(n+1)>0 và D bằng tích của hai số nguyên dương lớn hơn 1

=>D không là số nguyên tố

=>Loại