Gọi BD và CK là đường cao của \(\Delta\)ABC.

Ta có: ^KEH+^KHE=90⁰ (Do \(\Delta\)EKH vuông tại K)

Mà ^KHE+^MHC=90⁰

=> ^KEH=^MHC hay ^MHC=^HEA

Xét \(\Delta\)EHA và \(\Delta\)HMC: ^HEA=^MHC; ^EAH=^HCM (Cùng phụ ^ABC)

=> \(\Delta\)EHA ~ \(\Delta\)HMC (g.g) => \(\frac{EH}{HM}=\frac{AH}{MC}\)(1)

Chứng minh tương tự, ta được: \(\Delta\)HFA ~ \(\Delta\)MHB (g.g) => \(\frac{FH}{HM}=\frac{AH}{BM}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{EH}{HM}=\frac{FH}{HM}\)(Do MC=MB) => EH=FH => H là trung điểm của EF

Xét \(\Delta\)MEF: Trung tuyến MH. Lại có: MH\(\perp\)EF => \(\Delta\)MEF cân tại M (đpcm).

cho mình hỏi là góc EAH cùng phụ với góc ABC ở chỗ nào ạ ?

Gọi I là đối xứng của C qua H

AB cắt CH tại D =>CH vuông góc AB =>HI vuông góc BD

c/m tam giác IPH=tam giác CQH. (c-g-c) =>PI // AC mà BH vuông góc AC => PI vuông góc BH

c/m P trực tâm tam giác BIH

=>PQ vuông góc với BI mà BI// HM (bạn tự c/m) => PQ vuông góc với HM.

Gọi I là đối xứng của C qua H

AB cắt CH tại D =>CH vuông góc AB =>HI vuông góc BD

c/m tam giác IPH=tam giác CQH. (c-g-c) =>PI // AC mà BH vuông góc AC => PI vuông góc BH

c/m P trực tâm tam giác BIH

=>PQ vuông góc với BI mà BI// HM (bạn tự c/m) => PQ vuông góc với HM.

a: Xét tứ giác BHCD có 

BH//CD

BD//CH

DO đó: BHCD là hình bình hành

\({}\)

a) Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) nên tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tương tự như thế, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB. Cũng có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\) nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IEB}+\widehat{BEM}\) 

\(=\left(90^o-\widehat{IEA}\right)+\widehat{EBC}\)

\(=90^o-\widehat{EAD}+\widehat{EBD}=90^o\) (do \(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\))

Vậy \(IE\perp ME\)

b) Dễ thấy các điểm I, D, E, F, M, K cùng thuộc đường tròn đường kính IM. Gọi J là trung điểm AI thì I chính là tâm của đường tròn (AIK) nên (J) tiếp xúc với (I) tại A. Dẫn đến A nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J)

 Mặt khác, ta có \(SK.SI=SE.SF\) nên \(P_{S/\left(I\right)}=P_{S/\left(J\right)}\) hay S nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J). Suy ra AS là trục đẳng phương của (I) và (J). \(\Rightarrow\)\(AS\perp IJ\) hay AS//BC (đpcm).

c) Ta thấy tứ giác AKEP nội tiếp đường tròn AP

\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{MKE}=\widehat{MDE}=\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\Delta BAE~\Delta BPA\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{BEA}=90^o\)

\(\Rightarrow\) AP//QH \(\left(\perp AB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IAP}=\widehat{IHQ}\) (2 góc so le trong)

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta IAP=\Delta IHQ\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow IP=IQ\) hay I là trung điểm PQ (đpcm)