cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ac>0
CMR: \(\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+16ac}{c^2+a^2}+\frac{c^2+16ab}{a^2+b^2}\ge10\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : a+b+c=5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(T=\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{2c^2+7a^2+16ac}}\)
Ta có: \(4ab\le2a^2+2b^2\)
=> \(\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}\le\sqrt{4a^2+9b^2+12ab}=\sqrt{\left(2a+3b\right)^2}=2a+3b\)
=> \(\frac{a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}\ge\frac{a^2}{2a+3b}\)
Chứng minh tương tự
=> \(T\ge\frac{a^2}{2a+3b}+\frac{b^2}{2b+3c}+\frac{c^2}{2c+3a}\)
Áp dụng bđt bunhia dạng phân thức
=> \(T\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+3b+2b+3c+2c+3a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=1\)
=> \(MinT=1\)xảy ra khi a=b=c=5/3
Cho \( a,b,c\ge0\)tm ab+bc+ca>0
CMR \( \frac{a^2+16bc}{b^2+c^2} + \frac{b^2+16ac}{a^2+c^2}+ \frac{c^2+16ab}{a^2+b^2} \)
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=1\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\ge10\)
xàm quá Nghêm Hoàng Nam
Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn ab+bc+ca=3.Chứng minh \(\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\ge2\)
ta có :
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{2a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3-a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{2a^3}{a^2+ab+b^3}+b-a\)
tương tự rồi cộng theo vế :
\(LHS\ge2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)
áp dụng bđt cô si
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{a^2+ab+b^2}{9}+\frac{1}{3}\ge\frac{3a}{3}=a\)
tương tự rồi cộng theo vế
\(2\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+...\right)\ge a+b+c-1-\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(\ge\frac{2\left(9-a^2-b^2-c^2-ab-bc-ca\right)}{9}\)
đến đây chịu :)))))
\(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)
Ta có BĐT phụ: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)( cái này nhân chéo lên tự cm nha )
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)
CMTT: \(\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{1}{3}\left(b+c\right);\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{1}{3}\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=2\left(đpcm\right)\)
Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0 và a2+b2+c2=2(ab+bc+ac). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\)
Bài 111
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=2\)
CMR: \(\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\le1\)
Cho a;b;c là các số thực không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2>0\)\(.CMR:\)
\(\frac{3a^2-bc}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{3b^2-ca}{+2b^2+c^2+a^2}+\frac{3c^2-ab}{2c^2+a^2+b^2}\le\frac{3}{2}\)
Làm tạm vào đây vậy
từ gt dễ dàng => \(ab+bc+ca\le3\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng cô si ta có
\(\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}\right)\)
Tương tự như vậy rồi ccộng vào nhá nhok
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+ac+bc=abc . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được
\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)
Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)
Cách trâu bò :
Ta có :
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)
+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)
Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )
Từ giả thiết \(ab+bc+ca=abc< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Đặt \(\left\{\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)khi đó bài toán quy về :
Biết \(x+y+z=1\)Chứng minh rằng : \(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
p/s : bây giờ bài toán đã đơn giản rồi