Em không vẽ được hình, xin thông cảm

a, Ta có góc EAN=  cungEN=cung EC+ cung EN

Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)

=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)

=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

b,Ta có EC=EB=EM

Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM

 MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180

=> AME = ABE

=> tam giác ABE= tam giác AME

=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A

Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM

CMTT => AC vuông góc EN

MÀ AC giao BM tại M

=> M là trực tâm tam giác AEN

Vậy M là trực tâm tam giác AEN

c,  Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH

Vì M là trực tâm của tam giác AEN

=> \(EN\perp AN\)

Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)

=> \(EN//OI\)

MÀ O là trung điểm của EH

=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )

=> tứ giác AMNH là hình bình hành 

=> AH=MN

Mà MN=NC

=> AH=NC

=> cung AH= cung NC

=> cung AH + cung KC= cung KN

Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )

NBK là góc nội tiếp chắn cung KN

=> gócKMC=gócKBN

Hay gócKMC=gócKBM

=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Anh Khang nè,e cung cấp hình nha:3

Cảm ơn bạn

4) Gọi P, Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) . Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng.

Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên DN là trung trực của BC nên DN là phân giác  B D C ^

Ta có  K Q C ^ = 2 K M C ^  (góc nọi tiếp bằng nửa góc ở tâm trong dường tròn (Q))

N D C ^ = K M C ^  (góc nội tiếp cùng chắn cung  N C ⏜ )

Mà  B D C ^ = 2 N D C   ^ ⇒ K Q C ^ = B D C ^

Xét 2 tam giác BDC & KQC là các các tam giác vuông tại D và Q có hai góc ở  ⇒ B C D ^ = B C Q ^  do vậy D, Q, C thẳng hàng nên KQ//PK

Chứng minh tương tự ta có  ta có D, P, B thẳng hàng và DQ//PK

Do đó tứ giác PDQK là hình bình hành nên E là trung điểm của PQ cũng là trung điểm của DK. Vậy D, E, K thẳng hàng (điều phải chứng minh).

a/ Gọi P là giao cuả  AM và NK Ta có

sđ cung AN = 1/2 sđ cung AC

sđ cung BK = 1/2 sđ cung AB

sđ cung BM = 1/2 sđ cung BC

sđ cung MK = sđ cung BK + sđ cung BM = 1/2 sđ cung AB + 1/2 sđ cung BC

sđ \(\widehat{APN}=\) 1/2(sđ cung AN + sđ cung MK) = 1/2(1/2 sđ cung AC + 1/2 sđ cung AB + 1/2 sđ cung BC) = 1/4(sđ cung AC + sđ cung AB + sđ cung BC) (góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng hai cung bị chắn)

Mà sđ cung AC + sđ cung AB + sđ cung BC = 360

=> sđ\(\widehat{APN}\) = 1/4x360=90 => \(AM\perp NK\)

b/ Ta có

sđ cung AK = sđ cung BK

sđ cung cung BM = sđ cung CM

sđ\(\widehat{KCM}=\) 1/2 sđ cung MK = 1/2(sđ cung BK + sđ cung BM)

sđ\(\widehat{MIC}=\) 1/2 (sđ cung AK + 1/2 sđ cung CM) (góc có đỉnh ở trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng hai cung bị chắn)

\(\Rightarrow\widehat{KCM}=\widehat{MIC}\) => tam giác MIC cân tại M