Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P lần lượt là điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB.
a) Chứng minh ba đường thẳng AM; BN; CP đồng quy tại một điểm I
b) Chứng minh tam giác MBI là tam giác cân.
c) Gọi E là giao điểm của MP với AB, F là giao điểm của MN với AC. Chứng minh EI//BC. Suy ra E; I; F thẳng hàng.
d) Chứng minh \(\frac{AE}{EB}=\frac{AB}{BD}\) (D là giao điểm của AM với BC)
a.Vì M, N, P là điểm chính giữa cung BC, CA,AB
\(\Rightarrow AM,BN,CP\) là phân giác trong của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AM,BN,CP\) đồng quy tại I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\)
b ) Ta có : \(\widehat{BIM}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=\widehat{BAM}+\widehat{ABN}=\widehat{NBC}+\widehat{CBM}=\widehat{NBM}\)
\(\Rightarrow\Delta MBI\) cân tại M
c ) Vì M nằm chính giữa cung BC
\(\Rightarrow\widehat{MPC}=\widehat{MAB}\Rightarrow APEI\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{PIE}=\widehat{PAB}=\widehat{PCB}\Rightarrow\) EI // BC
Tương tự ta cũng có : IF//BC \(\Rightarrow E,I,F\) thẳng hàng
d ) Ta có : EI//BC
\(\Rightarrow\frac{AE}{EB}=\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}\) vì BI là phân giác góc B
