a: Xét tứ giác MAIC có

\(\widehat{MAI}+\widehat{MCI}=90^0+90^0=180^0\)

=>MAIC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AMC}+\widehat{AIC}=180^0\left(1\right)\)

Ta có: AM\(\perp\)AB

BN\(\perp\)AB

Do đó: AM//BN

=>\(\widehat{AMN}+\widehat{CNB}=180^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CIA}=\widehat{CNB}\)

Xét (O) có

\(\widehat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

\(\widehat{CBN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BN và dây cung BC

Do đó: \(\widehat{CAB}=\widehat{CBN}\)

Xét ΔCAI và ΔCBN có

\(\widehat{CAI}=\widehat{CBN}\)

\(\widehat{CIA}=\widehat{CNB}\)

Do đó: ΔCAI đồng dạng với ΔCBN

b: Xét tứ giác ICNB có \(\widehat{ICN}+\widehat{IBN}=90^0+90^0=180^0\)

nên ICNB là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{INC}\)

=>\(\widehat{CBA}=\widehat{CNI}\)

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C và ΔCIN vuông tại C có

\(\widehat{CBA}=\widehat{CNI}\)

Do đó: ΔCAB đồng dạng với ΔCIN

c: Ta có: MAIC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MIC}\)

Ta có: NCIB là tứ gáic nội tiếp

=>\(\widehat{NIC}=\widehat{NBC}\)

Ta có: \(\widehat{MIN}=\widehat{MIC}+\widehat{NIC}\)

\(=\widehat{MAC}+\widehat{NBC}\)

\(=90^0-\widehat{CAB}+90^0-\widehat{CBA}\)

\(=180^0-90^0=90^0\)

help meeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!

HS tự chứng minh

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C

=>BC\(\perp\)AC tại C

=>BC\(\perp\)AE tại C

=>ΔCEF vuông tại C

Xét (O) có

\(\widehat{ICB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CI và dây cung CB

\(\widehat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

Do đó: \(\widehat{ICB}=\widehat{CAB}\)

mà \(\widehat{CAB}=\widehat{BFD}\left(=90^0-\widehat{CBA}\right)\)

nên \(\widehat{ICB}=\widehat{BFD}\)

mà \(\widehat{BFD}=\widehat{IFC}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ICB}=\widehat{IFC}\)

=>\(\widehat{ICF}=\widehat{IFC}\)

=>IC=IF

Ta có: \(\widehat{ICF}+\widehat{ICE}=\widehat{ECF}=90^0\)

\(\widehat{IFC}+\widehat{IEC}=90^0\)(ΔECF vuông tại C)

mà \(\widehat{ICF}=\widehat{IFC}\)

nên \(\widehat{ICE}=\widehat{IEC}\)

=>IC=IE

mà IC=IF

nên IE=IF

=>I là trung điểm của EF

b: Vì ΔCEF vuông tại C

nên ΔCEF nội tiếp đường tròn đường kính EF

=>ΔCEF nội tiếp (I)

Xét (I) có

IC là bán kính

OC\(\perp\)CI tại C

Do đó: OC là tiếp tuyến của (I)

Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.

Dễ thấy ^BNA = 90⁰. Suy ra \(\Delta\)BNA ~ \(\Delta\)BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA 

Cũng dễ có \(\Delta\)BMA ~ \(\Delta\)BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK

Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 360⁰ - ^ANM - ^KNM

= (180⁰ - ^ANM) + (180⁰ - ^KNM) = ^ABM + (180⁰ - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA

=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A

=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)

Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)

Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const

Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi

=> Sin^IEL = const hay \(\frac{IL}{IE}=const\). Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi

Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).