a, Có : ^BCK = ^BAK ( chắn cung BK )

           ^BAK = ^BCH (Phụ ^ABC)

 => ^HCA₁ = ^A₁CK

=> CA₁ là phân giác ^HCK

Tam giác HCK có CA₁  vừa là đường cao vừa là phân giác

=> \(\Delta\)HCK cân tại C

=> CA₁ là trung tuyến

=> A₁ là trung điểm HK

b,\(\frac{HA}{AA_1}+\frac{HB}{BB_1}+\frac{HC}{CC_1}=1-\frac{HA_1}{AA_1}+1-\frac{HB_1}{BB_1}+1-\frac{HC_1}{CC_1}\)

                                               \(=3-\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}-\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)

                                               \(=3-1\)

                                                 \(=2\)

c,D \(OM\perp BC\)tại M nên M là trung điểm BC

Xét \(\Delta\)BB₁C vuông tại B₁ có B₁M là trung tuyến

=> B₁M = MB = MC

=> ^MBB₁ = ^MB₁B

    và ^MB₁C = ^MCB₁

Mà ^B₁AE = ^B₁BC (Chắn cung EC)

      ^MB₁C = ^AB₁N (đối đỉnh)

       ^BB₁M + ^CB₁M = 90^o

=> ^NAB₁ + ^NB₁A = 90^o

=> \(B_1N\perp AE\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB_1^2=AN.AE\)

\(EB_1^2=EN.EA\)

\(\Rightarrow\frac{AB_1^2}{EB_1^2}=\frac{AN.AE}{EN.EA}=\frac{AN}{EN}\)

a) Chứng minh  B 1 ,   C 1 ,   D 1  lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD

Ta có:

⇒ A 1 B 1  là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒   B 1  là trung điểm của SB (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C 1  là trung điểm của SC.

• D 1  là trung điểm của SD.

b) Chứng minh  B 1 B 2   =   B 2 B ,   C 1 C 2   =   C 2 C ,   D 1 D 2   =   D 2 D .

⇒ A 2 B 2  là đường trung bình của hình thang A 1 B 1 B A

⇒   B 2  là trung điểm của B 1 B

⇒   B 1 B 2   =   B 2 B (đpcm)

*Chứng minh tương tự ta cũng được:

• C 2  là trung điểm của C 1 C 2   ⇒   C 1 C 2   =   C 2 C

• D 2  là trung điểm của D 1 D 2   ⇒   D 1 D 2   =   D 2 D .

c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là : A 1 B 1 C 1 D 1 . A B C D   v à   A 2 B 2 C 2 D 2 . A B C D

Xét tứ giác AOBC₁ có: hai đường chéo AB và OC₁ cắt nhau tại trung điểm P mỗi đường  chéo

=>AOBC₁  là hình bình hành

=>  AC₁//=OB  (1)

Xét tứ giác OBA₁C có hai đường chéo OA₁và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường chéo.

=>  OBA₁C là hình bình hành

=> OB//=A₁C (2)

Từ (1), (2) => AC₁//=A₁C

=> AC₁A₁C là hình bình hành.

=> AA₁ và CC₁ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

Chứng minh tương tự:

BC₁//=AO//=B₁C

=> BC₁B₁C là hình bình hành

=> BB1 và CC1 cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo

=> AA1; BB1; CC1 đồng quy.