Cho hai đường tròn (O;R) và (O;r) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng (d) tiếp xúc với cả hai đường tròn trên tại B và C với B ∈ (O), C ∈ (O’).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O‘).
b) Ta có: M là trung điểm của cạnh huyền BC
⇒ MA = MB = MC
⇒ ΔMAB cân tại M ⇒ ∠(MAB ) = ∠(MBA )
Lại có: ΔOAB cân tại O ⇒ ∠(OAB ) = ∠(OBA )
⇒ ∠(MAB ) + ∠(OAB ) = ∠(MBA ) + ∠(OBA ) ⇔ ∠(MAO ) = ∠(MBO) = 90 0
⇒ MA là tiếp tuyến của (O)
Chứng minh tương tự: MA là tiếp tuyến của (O')
Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O')
Cho hai đường tròn (O;R) và (O;r) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng (d) tiếp xúc với cả hai đường tròn trên tại B và C với B ∈ (O), C ∈ (O’).
a) Chứng minh tam giác ABC vuông
a) Ta có:
OB // O'C ( cùng vuông góc với d)
⇒ Tứ giác OBCO' là hình thang vuông
⇒ ∠(BOO') + ∠(CO'O) = 180 0
Δ CO'A cân tại O' có:
Từ (1) và (2):
Lại có: ∠(CAO') + ∠(BAO) + ∠(BAC) = 180 0 ⇒ ∠(BAC) = 180 0 - 90 0 = 90 0
⇒ ΔABC vuông tại A.
Cho 2 đường tròn (O;R) và (O',r) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng (d) tiếp xúc với cả 2 đường tròn trên tại B và C với B thuộc (O) và C thuộc (O'):
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.
Bài 2: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. 1 đường thẳng d tiếp xúc với (O) và (O') lần lượt tại B và C.
a) CM: tam giác ABC vuông
b) Gọi M là trung điểm BC. C/m: AM là tiếp tuyến trung của hai đường tròn
c) C/m: góc OMO' = 90°
d) Các tia BA, CA lần lượt cắt đường tròn (O) và (O') tại D và E. Chứng minh: Diện tích tam giác ADE = Diện tích tam giác ABC
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc (O) và (O') lần lượt ở B và C. Tiếp tuyến chung trong cắt BC ở I. Gọi E, F thứ tự là giao điểm của IO với AB và của IO' với AC
a, Chứng minh A, E, I, F cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm K của đường tròn này
b, Chứng minh IE.IO + IF.IO' = 1 2 A B 2 + A C 2
c, Gọi P là trung điểm của OA. Chứng minh PE tiếp xúc với (K)
d, Cho OO' cố định và có độ dài 2a. Tìm điều kiện của R và R' để diện tích tam giác ABC lớn nhất
a, Chứng minh tứ giác AEIF là hình chữ nhật và K là trung điểm AI
b, Có IE.IO = I B 2 = B C 2 4 và IF.IO' = I C 2 = B C 2 4
=> 2.(IE.IO+IF.IO') = A B 2 + A C 2
c, PK Là đường trung bình của ∆OAI và là trung trực của EA
Ta có ∆PEK = ∆PAK nên P E K ^ = P A K ^
Vậy P E K ^ = 90 0 => đpcm
d, ∆ABC:∆IOO’ => S A B C S I O O ' = B C O O ' 2 => S A B C = S I O O ' . B C 2 O O ' 2
mà BC = 2AI'; OO' = 2a; S O I O ' = 1 2 . 2 a . I A = a . I A => S A B C = I A 2 a
I A 2 = R R ' ⩽ R + R ' 2 2 = a 2 => IA lớn nhất bằng a khi R=R’
1. Cho các đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc trong với nhau tại A(R>R'). Vẽ đường kính AB của (O) , AB cắt (O') tại điểm thứ hai C. Từ B vẽ tiếp tuyến BP với đường tròn (O'), BP cắt (O) tại Q. Đường thẳng AP cắt (O) tại điểm thứ hai R. Chứng minh:
a) AP là phân giác của góc BAQ
b) CP và BR song song với nhau
2. Cho đường tròn (O;R) vơi SA là điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) và lấy M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đường tròn (O). gọi I là trung điểm MA, K là giao điểm của BI với (O)
a) Chứng minh các tam giác IKA và IAB đồng dạng. Từ đó suy ra tam giác IKM đồng dạng với tam giác IMB
b) Giả sử MK cắt (O) tại C. Chứng minh BC song song MA
3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB<AC. Đường tròn (I) đi qua B và C, tiếp xúc với AB tại B cắt đường thẳng AC tại D. Chứng minh OA và BD vuông góc với nhau.
4.Cho hai đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại C và D, trong đó tiếp tuyến chung MN song song với cát tuyến EDF, M và E thuộc (O), N và F thuộc (I), D nằm giữa E và F. Gọi K ,H theo thứ tự là giao điểm của NC,MC và EF. Gọi G là giao điểm của EM ,FN. Chứng minh:
a) Các tam giác GMN và DMN bằng nhau
b) GD là đường trung trực của KH
Làm ơn giúp mình với !!! Chút nữa là mình đi học rồi !!!! Cảm ơn trước !!!
Cho hai đường tròn ( O ) bán kính R và (O') bán kính R' tiếp xúc ngoài với nhau tại M. Đường thằng OO' cắt ( O) tại C, Cắt (O') tại D. Tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O) tại A và (O') tại B, tiếp tuyến chung trong cắt AB tại I. Gọi B' là giao điểm của BM và (O) , B' khác M
a. Chứng minh AB2 = 4R.R'
b. Chứng minh A , O , B thẳng hàng
c. cho biết R= 3R' tính diện tích tứ giác MOIB theo R
Cho hai đường tròn (O;R) và (O';R') tiếp xúc ngoài tại A (R> R').Vẽ các đường kính AOB ,AO'C .Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC .
a/ Chứng minh rằng tứ giác BDCE là hình thoi
b/ Gọi I là giao điểm của EC và đường tòn (O').Chứng minh rằng 3 điểm D,A,I thẳng hàng
c/Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O')
Cho hai đườngtròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A (R > R'). Vẽ các đường kính AOB, AO'C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Chứng minh rằng tứ giác DBCE là hình thoi
b) Gọi I là giao điểm của EC và đường tròn (O'). Chứng minh rằng ba điểm D, A, I thẳng hàng
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O')
