Em Xét 2 trường hợp: n = 2k và n = 2k + 1

Nếu m=n ta có đpcm

Xét m \(\ne\)n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x;y\inℤ;x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=x-y\end{cases}\left(m,n>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow}x=\left|y\right|}\)

Do đó \(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)

Thay m=x+y; n=x-y ta có: (x+y)²=k(4xy+1)

<=> x²-2(2x-1)xy+y²-k=0 (*)

Phương trình (*) có 1 nghiệm là x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x₁. Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}\Rightarrow x;x_1\inℤ}\)

Nếu x₁>0 => (x;y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*)

=> x₁>|y| => y²-k=xx₁ > |y|²=y² => k<0 => x₁+x₂=2(2k-1)<0 (mâu thuẫn)

Nếu x₁<0 thì xx₁=y²-k<0 => k>y² => k>0 => 4xy+1>0 => y>0 ta có:

k=x₁²-2(2k-1)x₁y+y²=x₁²+2(2k-1)|x₁|y+y²> 2(2k-1) |x₁|y >= 2(2k-1)>k (mâu thuẫn)

vậy x₁=0 khi đó k=y² và \(m^2-n^2+1=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên |m²-n²+1| là số chính phương

Đặt \(a-b=x;b-c=y;c-a=z\)

\(\Rightarrow x+y+z=a-b+b-c+c-a=0\)

Lúc đó: \(B=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

Mà \(x+y+z=0\Rightarrow2\left(x+y+z\right)=0\Rightarrow\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)

\(=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}+\frac{2}{xy}\)

\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)