1) \(9x^2+y^2-2z^2-18x+4z-6y+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2-18x+9\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(2z^2+4z+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(x^2-2x+1\right)+\left(y-3\right)^2+2\left(z^2+2z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\)

mà: \(9\left(x-1\right)^2\ge0;\left(y-3\right)^2\ge0;2\left(z+1\right)^2\ge0\)

nên \(_{\hept{\begin{cases}9\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\\2\left(z+1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=-1\end{cases}}}\)

2) Ta có: \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Leftrightarrow\left(\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}\right)=0\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\)

Lại có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\Rightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}\right)+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+\frac{2xy}{ab}+\frac{2yz}{bc}+\frac{2xz}{ac}=1\)

mà : \(\frac{2xy}{ab}+\frac{2yz}{bc}+\frac{2xz}{ac}=\frac{2xyabc^2+2yzbca^2+2xzacb^2}{a^2b^2c^2}=\frac{2abc\left(cxy+ayz+bxz\right)}{a^2b^2c^2}=\frac{2abc\cdot0}{a^2b^2c^2}=0\)

Vậy \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

1 ) \(9x^2+y^2+2z^2-18x+4z-6y+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2-18x+9\right)+\left(y^2-6y+9\right)+\left(2z^2+4z+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}9\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-3\right)^2\ge0\\2\left(z+1\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2\ge0\)

Để \(9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\) thì \(\hept{\begin{cases}9\left(x-1\right)^2=0\\\left(y-3\right)^2=0\\2\left(z+1\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=-1\end{cases}}}\)

2 ) Ta có : \(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{2xy}{ab}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{2xz}{ac}+\frac{z^2}{c^2}+\frac{2yz}{bc}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)+\left(\frac{2xy}{ab}+\frac{2xz}{ac}+\frac{2yz}{bc}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)+\frac{2xyz}{abc}\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)+\frac{2xyz}{abc}.0=1\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) (đpcm(

2/a/\(\Leftrightarrow9x^2-18x+9+y^2-6y+9+2z^2+4z+2=0\)

\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\).Từ đó suy ra

\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-3=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\\z=-1\end{matrix}\right.\)

b/\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)

Ta có \(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ac}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{ayz+bzx+cxy}{abc}=1\)

\(\RightarrowĐPCM\)

1/Mạn phép sửa đề :\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2+2x-2y-1=0\left(1\right)\\2x\left(x+y\right)=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng (1) và (2) đc \(x^2-2xy+y^2+2x-2y-1=-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=0\)

Suy ra x-y=-1.Thế ngược lại vào 2 tìm đc x,y

.Nếu mà bạn giữ nguyên đề như vậy thì

Giải phương trình để tìm bằng cách tìm , , và

ko biết

ko bt thi cam

a)       \(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=\frac{x^2+y^2+z^2}{5}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x^2}{2}-\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}-\frac{y^2}{5}+\frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{5}=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{3}{10}x^2+\frac{2}{15}y^2+\frac{1}{20}z^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2=y^2=z^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=0\)

9x² + y² + 2z² - 18x + 4z - 6y + 20 = 0

<=>9x²-18x+9+y²-6y+9+2z²+4z+2=0

<=>(3x-3)²+(y-3)²+2(z²+2z+1)=0

<=>(3x-3)²+(y-3)²+2(z+1)²=0

=>3x-3=0 và y-3=0 và z+1=0

<=>x=1 và y=3 và z=-1

\(9x^2+y^2+2z^2-18x+4z-6y+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2-18x+9\right)+\left(y^2-6y+9\right)+2\left(z^2+2z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\)

Suy ra hoặc \(3x-3=0\Leftrightarrow x=1\)

            hoặc \(y-3=0\Leftrightarrow y=3\)

            hoặc \(z+1=0\Leftrightarrow z=-1\)

Bài 1 : 

Bât đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

( xy+yz + zx )(9 + x²y² +z²y² + x²z² ) \(\ge\)36xyz 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 

xy+ yz + zx \(\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)           ( 1) 

Và 9 + x²y² + z²y² + x²z² \(\ge12\sqrt[12]{x^4y^4z^4}\)

hay 9+ x²y² + z²y²+ x²z² \(\ge12\sqrt[3]{xyz}\)                (2) 

Do các vế đều dương ,từ (1) và (2) suy ra :

( xy + yz +zx )( 9+ x²y² + z²y² + x²z² ) \(\ge36xyz\left(đpcm\right)\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y  =z = 1 

Bài 2: 

\(\hept{\begin{cases}a;b;c>0\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)

Có : \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+a^2}\ge\sqrt{2a}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}a\\\sqrt{1+b^2}\ge\sqrt{2b}\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}b\\\sqrt{1+c^2}\ge\sqrt{2c}\Rightarrow\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{\sqrt{3}}{2}c\end{cases}}\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\le\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

=> \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a =b =c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\cdot\frac{xyc+yza+zxb}{abc}=1\)

Mà \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Leftrightarrow\frac{yza+zxb+xyc}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow yza+zxb+xyc=0\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

Bài 1a/

\(\frac{1}{1+x+xy}=\frac{xyz}{xyz+x+xy}=\frac{yz}{1+y+yz}\)

\(\frac{1}{1+z+xz}=\frac{y}{y+yz+xyz}=\frac{y}{1+y+yz}\)

Vậy \(M=\frac{1}{1+y+yz}+\frac{y}{1+y+yz}+\frac{yz}{1+y+yz}=1\)

Chiều về làm tiếp

Bài 1b:Lời giải này chủ yếu nhờ dự đoán trước Min là 2011/2012 đạt được khi x=2012

Ta có \(P=\frac{2012x^2-2.2012x+2012^2}{2012x^2}=\frac{\left(x-2012\right)^2+2011x^2}{2012x^2}\ge\frac{2011x^2}{2012x^2}=\frac{2011}{2012}\)

Bài 2: Dùng phân tích thành bình phương

\(10x^2+y^2+4z^2+6x-4y-4xz+5=\left(9x^2+6x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+\left(x^2-4xz+4z^2\right)\)

\(=\left(3x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(x-2z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x+1=0\\y-2=0\\x-2z=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{3}\\y=2\\z=-\frac{1}{6}\end{cases}}}\)

Bài 3:

a/\(pt\Leftrightarrow\left(x+6\right)\left(x-5\right)\left(x^2-x+1\right)=0\Leftrightarrow x=-6,x=5\)

b/ta phân tích vế trái thành:\(\left(3x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=-1\end{cases}}\)

với x=y=z khác 0 và a,b,c khác nhau là 1 số bất kỳ khác 0 thì (1) thỏa mãn và (2) không thỏa mãn

=> Không thể CM

ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-zx}=\frac{c}{z^2-xy}\) (*)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}=\frac{a^2-bc}{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}\)

\(=\frac{a^2-bc}{x^4-3x^2yz+xy^3+xz^3}=\frac{a^2-bc}{x.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)

Làm tương tự như trên. ta có:

\(\frac{b^2-ca}{y}=\frac{b^2}{\left(y^2-zx\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)

\(\frac{c^2-ab}{z}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)

Từ (*) \(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\left(đpcm\right)\)