Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\inℤ^+\right)\)

\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)

\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\)

\(\Rightarrow f\left(5\right)-f\left(3\right)=98a+16b+2c\)

Mà \(f\left(5\right)-f\left(3\right)=2022\) nên \(98a+16b+2c=2022\) 

\(\Leftrightarrow49a+8b+c=1011\)

Lại có \(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)

\(f\left(1\right)=a+b+c+d\)

\(\Rightarrow f\left(7\right)-f\left(1\right)=342a+48b+6c\) \(=6\left(57a+8b+c\right)\) \(=6\left(8a+1011\right)\) (vì \(49a+8b+c=1011\))

 Mà do \(a\inℤ^+\) nên \(f\left(7\right)-f\left(1\right)\) là hợp số (đpcm)

công thức tổng quát: f(x)=x^{3        sdasdasdadasd}

thank

Help milk với

Gọi \(P\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)

Theo bài ta có : \(P\left(x\right)⋮7\Rightarrow\hept{\begin{cases}P\left(0\right)⋮7\\P\left(1\right)⋮7\\P\left(-1\right)⋮7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}e⋮7\\a+b+c+d+e⋮7\\a-b+c-d+e⋮7\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c+d⋮7\\a-b+c-d⋮7\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+c⋮7\\b+d⋮7\end{cases}}\)

Mặt khác ta có : \(P\left(2\right)=16a+8b+4c+d+e⋮7\)

\(\Leftrightarrow2a+b+4c+d⋮7\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+c\right)+b+d+2c⋮7\)

\(\Leftrightarrow2c⋮7\Leftrightarrow c⋮7\Leftrightarrow a⋮7\)

Chứng minh tương tự thì ta có \(a,b,c,d,e⋮7\). Ta có đpcm.

Lời giải:

Sử dụng công thức nội suy Newton:

$f(x)=a_1+a_2(x-2017)+a_3(x-2017)(x-2018)+a_4(x-2017)(x-2018)(x-t)$ với $a_4$ nguyên dương, $a_1,a_2, a_3, t$ bất kỳ.

Ta có:
$f(2017)=a_1=2018$

$f(2018)=a_1+a_2=2019$

$\Rightarrow a_2=1$. Thay giá trị $a_1,a_2$ vào lại $f(x)$ thì:

$f(x)=x+1+a_3(x-2017)(x-2018)+a_4(x-2017)(x-2018)(x-t)$

Do đó:

$f(2019)=2020+2a_3+2a_4(2019-a)$

$f(2016)=2017+2a_3+2a_4(2016-a)$

$\Rightarrow f(2019)-f(2016)=3+6a_4\vdots 3$ với mọi $a_4$ nguyên dương.

Cũng dễ thấy $3+6a_4>3$ với mọi $a_4$ nguyên dương

Do đó $f(2019)-f(2016)$ là hợp số (đpcm)

Ta có:

\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)

\(f\left(4\right)=64a+16b+4c+d\)

\(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)

\(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d\)

Xét:

\(f\left(5\right)-f\left(4\right)=125a+25b+5c+d-64a-16b-4c-d\)

\(=61a+9b+c=2019\)

Khi đó:

\(f\left(7\right)-f\left(2\right)=343a+49b+7c+d-8a-4b-2c-d\)

\(=335a+45b+5c=5\left(61a+9b+c\right)+30=5\cdot2019+30⋮5\)

Vậy ta có đpcm

không ra được đâu, 335 không chia hết cho 61, 5.61=305 chứ không phải bằng 335

* Ta có A(x)=ax^3+bx^2+cx+d

=>A(5)=125a+25b+5c+d

    A(4)=64a+16b+4c+d

    A(7)=343a+49b+7c+d

    A(2)=8a+4b+2c+d

+)Có A(5)-A(4)=(125a+25b+5c+d)-(64a+16b+4c+d)

    =>A(5)-A(4)=61a+9b+c

+) Xét A(7)-A(2)=(343a+49b+7c+d)-(8a+4b+2c+d)

      =>A(7)-A(2)=335a+45b+5c

                         =(61a+9b+c).5+30a

                         =(2022.5+30a) chia hết cho 2

         Vì a thuộc Z+ nên 2022.5+30a>2 nên A(7)-A(2) là hợp số