Tìm các cặp số nguyên (x,) thảo mãn :2x2+\(\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\) sao cho tích x,y đạt GTLN
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 2x^2+1/x^2+y^2/4=4 sao cho tích x.y đạt giá trị lớn nhất
Tìm các cặp số nguyên \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn \(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\) sao cho tích \(xy\) đạt giá trị lớn nhất.
\(2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}=4\left(1\right)\)
Theo Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số \(\left(x^2;\dfrac{1}{x^2}\right);\left(x^2;\dfrac{y^2}{4}\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2.\dfrac{1}{2}xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{x^2}\ge2\\x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge xy\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}+x^2+\dfrac{y^2}{4}\ge2+xy\)
\(\Leftrightarrow4\ge2+xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le2\left(x;y\inℤ\right)\)
\(\Leftrightarrow Max\left(xy\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra khi
\(xy\in\left\{-1;1;-2;2\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;-2\right);\left(1;2\right);\left(-2;-1\right);\left(2;1\right)\right\}\) thỏa mãn đề bài
1,Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn \(x^2y^2-x^2-3y^2-2x-1=0\).
2,Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\) để cho tích xy đạt giá trị lớn nhất.
Tìm x; y nguyên thỏa mãn \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\) sao cho tích x.y đạt giá trị lớn nhất
Ta có: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2-xy+\frac{y^2}{4}\right)+xy=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x-\frac{y}{2}\right)^2=2-xy\)
\(\Rightarrow2-xy\ge0\)
\(\Rightarrow xy\le2\)
Dấu bằng xảy ra khi nào, cậu làm luôn giúp tớ
Bài 1 : cho x,y thỏa mãn \(xy\ge1.CMR\) \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Bài 2: tìm các số ngyên x,y thỏa mãn : \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\)sao cho tích \(x.y\) đạt GTLN
TÌm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2x^2+1/x^2 +y^2/4 =4 sao cho tích x,y đạt giá trị lớn nhất
\(\text{Ta có : }2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^2-xy+\frac{y^2}{4}\right)=2-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x-\frac{y}{2}\right)^2=2-xy\)
\(\text{ Lại có : }\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(x-\frac{y}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2-xy\ge0\)
\(\Rightarrow xy\le2\)
Mà xy có giá trị lớn nhất
\(\Rightarrow xy\in\left\{\left(1;2\right)\left(2;1\right)\left(-1;-2\right)\left(-2;-1\right)\right\}\)
a)Tìm cặp số x,y nguyên sao cho: \(\frac{x-1}{5}\)=\(\frac{3}{y+4}\)
b)Tìm các số nguyên x sao cho P=\(\frac{x-2}{x+1}\)nguyên
c)Tìm cặp số x,y nguyên sao cho: \(\frac{x}{3}\)- \(\frac{2}{y}\) = \(\frac{1}{6}\)
Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho \(\frac{x-1}{4}-\frac{1}{y+3}=\frac{1}{2}\)
Trả lời
\(\frac{x-1}{4}-\frac{1}{y+3}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x-1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{y+3}\)
\(\Rightarrow\frac{x-1}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{y+3}\)
\(\Rightarrow\frac{x-1-2}{4}=\frac{1}{y+3}\)
\(\Rightarrow\frac{x-3}{4}=\frac{1}{y+3}\)
\(\Rightarrow\left(x-3\right)\left(y+3\right)=4\)
Vì \(x,y\inℕ\)\(\Rightarrow x-3;y+3\inℕ\)
\(\Rightarrow x-3;y+3\inƯ\left(4\right)=\left\{1;2;4\right\}\)
Ta có bảng giá trị
x-3 | 1 | 2 | 4 |
y+3 | 4 | 2 | 1 |
x | 4 | 5 | 7 |
y | 1 | -1 | -2 |
Đối chiếu điều kiện \(x,y\inℕ\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(4;1\right)\right\}\)
Cho các số dương x, y thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2\). Tìm GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}+\frac{1}{y^4+x^2+2x^2y}\)
Từ giả thiết \(=>x+y=2xy\)
Áp dụng bđt Cô-si ta có :
\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\)
\(y^4+x^2\ge2\sqrt{y^4x^2}=2y^2x\)
Khi đó : \(C\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\right]=\frac{1}{2}.\frac{2}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\)
đến đây dễ rồi ha
oke làm tiếp
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}< =>2\ge\frac{4}{x+y}< =>x+y\ge2\)
Mặt khác \(C\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)}{2}.\left(x+y\right)}=\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\le\frac{1}{2}\)
Vậy GTLN của C = 1/2 đạt được khi x=y=1