n^3+5n

=n(n²+5)

=(n-1)n(n+1)+6n

Ta có tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6 bởi vì vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3.

Mặt khác 6n chia hết cho 6, do đó:

n³ + 5n chia hết cho 6

Ta có \(n^3+5n=n\left(n^2+5\right)=n\left(n^2-1+6\right)\)

                            \(=n\left(n^2-1\right)+6n\)

                            \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6n\)

Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 6

\(6n\) chia hết cho 6

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6n\) chia hết cho 6

Vậy \(n^3+5n\) chia hết cho 6

Giả sử  \(\left(5^n-1\right)⋮4\)

Suy ra \(5^n⋮5\)(phù hợp)

Vậy \(\left(5^n-1\right)⋮4\)

Cách 2

Ta có:

\(5\equiv1\)(mod 4)

Suy ra \(5^n\equiv1\)(mod 4)

Suy ra \(5^n-1\equiv1-1\equiv0\)(mod 4)

Vậy \(\left(5^n-1\right)⋮4\)

tìm n phải ko bạn , bài này chắc của lớp 6 :v mà bạn ấn nhầm

n+5 chia hết cho n+2

=> n+2+3 chia hết cho n+2

=> n+2 chia hết cho n+2 ; 3 chia hết cho n+2

=> n+2 thuộc Ư(3)={-1,-3,1,3}

=> n={-3,-5,-1,0}

b,5n-7 chia hết cho n+2

=>5n+10-17 chia hết cho n+2

=>5(n+2)-17 chia hết cho n+2

Mà 5(n+2) chia hết cho n+2

=>17 chia hết cho n+2

=>n+2\(\in\)Ư(17)={-17,-1,1,17}

=>n\(\in\){-19,-3,-1,15}

c,n²+5 chia hết cho n+1

=>n²-1²+6 chia hết cho n+1

=>(n-1).(n+1)+6 chia hết cho n+1

Mà (n-1).(n+1) chia hết cho n+1

=>6 chia hết cho n+1

=>n+1\(\in\)Ư(6)={-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}

=>n\(\in\){-7,-4,-3,-2,0,1,2,5}

a, 3.(n-4) + 36 chia hết n-4

suy ra 36 chia hết n-4

n-4 là ước của 36

tự giải tiếp

b, = 5.(n+2) - 13 chia hết n+2

suy ra -13 chia hết n+2

tự giải tiếp

c, = n.(n+1) - (n+1) +6 chia hết n+1

suy ra 6 chia hết n+1

tự giải tiếp

                        nha

a,3n+24 chia hết cho n-4

=>3n-12+36 chia hết cho n-4

=>3(n-4)+36 chia hết cho n-4

Mà 3(n-4) chia hết cho n-4

=>36 chia hết cho n-4

=>n-4\(\in\)Ư(36)={-36,-18,-12,-9,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,9,12,18,36}

=>n\(\in\){-32,-14,-8,-5,-2,0,1,2,3,5,6,7,8,10,13,16,22,40}

=  \(3^n\left(3^3+3\right)+2^n\left(2^3+2^2\right)\)

= \(3^n.30+2^n.12\)

= \(6.\left(3^n.5+2^n.2\right)⋮6\)

Ok nha bn :D 

Ta chứng minh: Nếu ƯCLN(a,6)=1 thì a^2 +5 chia hết cho 6 

Từ ƯCLN(a,6)=1=> a không chia hết cho 2, a không chia hết cho 3

do a không chia hết cho 2=>(a-1)chia hết cho 2=>a^2+5=a^2-1+6=(a-1)(a+1)+6 chia hết cho 2  (1)

do a không chai hết cho 3 => (a-1)(a+1)+6 chai hết cho 3    (2) 

Do ƯCLN(2;3)=1nên kết hợp với (1) và (2) được (a-1)(a+1)+6 chia hết cho (2.3)hay a^2+5 chai hết cho 6

Ngược lại: Từ a^2+5 chia hết cho 6 => ƯCLN(a;6)=1

Ta có a^2+5 chia hết cho 6 => (a-1)(a+1)+6 chia hết cho 6 <=>(a-1)(a+1) chia hết cho 6=>(a-1)(a+1) chia hết cho cả 2 và 3 

Với (a-1)(a+1) chia hết 2 =>a lẻ ->ƯCLN(a,3)=1  (3)

Với (a-1)(a+1) chia hết cho 3 mà a-1,a,a+1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3=>a không chia hết cho 3=>ƯCLN(a,3)=1  (4)

Từ (3) và (4)+>ƯCLN (a,6)=1

Suy ra bài toán đã được chứng  minh

 nguyen anh a

n là số 2

Ta có:2ⁿ-1 chia hết cho 7

=>2ⁿ-1 EƯ(7)={-7,-1,1,7}

=>2ⁿE{-6,0,2,8}

Loại các trường hợp 2ⁿ=-6 và 2ⁿ=0

=>2ⁿE{2,8}

=>nE{1,3}