thầy nói đề sai rồi mà 

phải là cm ƯCLN của a và b ko lớn hơn \(\sqrt{m+n}\)

Gọi \(gcd\left(m;n\right)=d\Rightarrow m=ad;n=bd\left(a,b\inℕ^∗\right)\) và \(\left(m;n\right)=1\)

Ta có:

\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+\left(a+b\right)}{abd}\)

\(\Rightarrow a+b⋮d\Rightarrow a+b\ge d\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)

Vậy ta có đpcm

shitbo

Bài từ lâu, giờ mò lại làm vui ha :)))

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 

p là số nguyên tố 

Thỏa mãn \(\frac{p}{m-1}=\frac{m+n}{p}\) <=> p² = ( m – 1 ).( m + n ) 

Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p²

Chú ý : m – 1< m + n (1) 

Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² (2) 

Từ (1) và (2) ta có m – 1 = 1 và m + n = p². Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p²

Vậy p² = n + 2 (Đpcm).

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 
p là số nguyên tố 
Thỏa mãn p/m−1 =m+n/p  <=> p² = ( m – 1 )( m + n ) 
Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p²
Chú ý : m – 1< m + n ( 1 ) 
Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² ( 2 ) 
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có m – 1 = 1 và m + n = p².
Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p²
Do đó A = p² - n = 2

m và n là số tự nhiên => m , n ≥ 0 
p là số nguyên tố 
. . . . . . . . . . . p. . . . . . .m + n 
Thỏa mãn ————– = ———– <=> p² = ( m – 1 )( m + n ) 
. . . . . . . . . .m – 1. . . . . . .p 
Do ( m – 1 ) và ( m + n ) là các ước nguyên dương của p² 
Chú ý : m – 1< m + n ( * ) 
Do p là số nguyên tố nên p² chỉ có các ước nguyên dương là 1, p và p² ( ** ) 

Từ ( * ) và ( ** ) ta có m – 1 = 1 và m + n = p². Khi đó m = 2 và tất nhiên 2 + n = p² . 
 

Đặt \(d=\left(m,n\right)\)

Ta có :\(\hept{\begin{cases}m=ad\\n=bd\end{cases}}\)với \(\left(a,b\right)=1\)

Lúc đó

\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{ad+1}{bd}+\frac{bd+1}{ad}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+a+b}{abd}\)là số nguyên

Suy ra \(a+b⋮d\Rightarrow d\le a+b\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)

Vậy \(\left(m,n\right)\le\sqrt{m+n}\)(đpcm)

Câu hỏi của Nguyễn Phương Thảo - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

=> \(n+2=p^2\) là số chính phương.

ta có p^2=(m+n)(m-1)

vì m+n>m-1

>0

m

+n=p^2

m-1=1

suy ra m=2=>n+2=p^2 là số chính phuopwng