a) Vì ABCD là hình bình hành (gt) => - AB // CD (t/c) => \(\widehat{AND}=\widehat{CDK}\left(\widehat{ANM}=\widehat{CDM}\right)\) (so le trong)

- AD // BC (t/c) => \(\widehat{ADN}=\widehat{DKC}\) (so le trong)

Xét \(\Delta DAN\) và \(\Delta KCD\) có: \(\widehat{AND}=\widehat{CDK}\), \(\widehat{ADN}=\widehat{DKC}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta DAN~\Delta KCD\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DN}{DK}=\frac{AN}{CD}\)  (tỉ lệ) (1)

Xét \(\Delta MNA\) và \(\Delta MDC\) có: \(\widehat{ANM}=\widehat{CDM}\) (cmt), \(\widehat{AMN}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta MNA~\Delta MDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MN}{DM}=\frac{AN}{CD}\) (tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow\frac{DN}{DK}=\frac{MN}{DM}\)

\(\Rightarrow DK\cdot MN=DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\left(DN-DM\right)=DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\cdot DN-DK\cdot DM=DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\cdot DN=DK\cdot DM+DN\cdot DM\)

\(\Rightarrow DK\cdot DN=DM\left(DK+DN\right)\)

\(\Rightarrow\frac{DK\cdot DN}{DK+DN}=DM\)

\(\Rightarrow\frac{DK+DN}{DK\cdot DN}=\frac{1}{DM}\)

\(\Rightarrow\frac{DK}{DK\cdot DN}+\frac{DN}{DK\cdot DN}=\frac{1}{DM}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{DN}+\frac{1}{DK}=\frac{1}{DM}\) (đpcm)

b) Vì \(\Delta DAN~\Delta KCD\) (cm câu a) \(\Rightarrow\frac{AD}{CK}=\frac{AN}{CD}\) (tỉ lệ)

\(\Rightarrow CK\cdot AN=AD\cdot CD\)

Vì AD và CD cố định nên \(AD\cdot CD\) không đổi với mọi vị trí đường thẳng d

\(\Rightarrow CK\cdot AN\) không đổi (không phụ thuộc vào vì trí đường thẳng d) (đpcm)

a) Ta có : AD // CK => \(\frac{MK}{MD}=\frac{CM}{AM}\left(1\right)\)

CD // AN => \(\frac{MD}{MN}=\frac{CM}{AM}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{MK}{MD}=\frac{MD}{MN}\Rightarrow MD^2=MK.MN\)

b) Sai đề

câu a 

xét tam giác MDC có

NA//DC (AB//DC)

\(\Rightarrow\frac{MN}{MD}=\frac{MA}{MC}\)( hệ quả Thales) (1)

xét tam giác MKC có

DA//CK (DA//BC)

\(\Rightarrow\frac{MD}{MK}=\frac{MA}{MC}\)( hệ quả Thales) (2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{MD}{MK}=\frac{MN}{MD}\)

\(\Rightarrow MD^2=MN.MK\)

câu b mình chưa giải đc nhé