a; Đặt A= \(a^{2017}+a^{2015}+1\)

\(=a^4\left(a^{2013}-1\right)+a^2\left(a^{2013}-1\right)+a^4+a^2+1\)=\(a^4\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+a^2\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)

= \(\left(a^2+a+1\right)F\left(a\right)\) (trong đó F(a) là đa thức chứa a)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(a^2+a+1\)

do \(a^2+a+1\) > 1 (dễ cm đc)

mà A là số nguyên tố

\(\Rightarrow A=a^2+a+1\)

hay \(a^{2017}+a^{2015}+1=a^2+a+1\)

\(\Leftrightarrow a\left(a\left(a^{2015}-1\right)+\left(a^{2014}-1\right)\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right).G\left(a\right)=0\) ( bạn đặt nhân tử chung ra)

do a dương => a>0 => a-1=0=> a=1(t/m)

Kết Luận:...

chỗ nào bạn chưa hiểu cứ nói cho mình nha :3

Mình không biết nha tạm thời bạn hỏi bạn khác đi 😅

hỏi chấm

mk mới lớp 8 nên ko biết làm bài lớp 9

Lời giải:

Sử dụng bổ đề: Một số chính phương $x^2$ khi chia 3 dư 0 hoặc 1.

Chứng minh:

Nêú $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2\vdots 3$ (dư $0$)

Nếu $x$ không chia hết cho $3$. Khi đó $x=3k\pm 1$ 

$\Rightarrow x^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1$ chia $3$ dư $1$

Vậy ta có đpcm

-----------------------------

Áp dụng vào bài:

TH1: Nếu $a,b$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH1: Nếu $a\vdots 3, b\not\vdots 3$

$\Rightarrow b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow b^2+3\vdots 3$

$\Rightarrow a(b^2+3)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+3)(b^2+3)\vdots 9$

TH3: Nếu $a\not\vdots 3; b\vdots 3$

$\Rightarrow a^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow b(a^2+2)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH4: Nếu $a\not\vdots 3; b\not\vdots 3$

$\Rightarrow a^2, b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3; b^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

Từ các TH trên ta có đpcm.

BN THAM KHẢO:

thx ban

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 1²

Theo đề bài a+b²⋮a²b−1
\(\Rightarrow\) ∃ k∈ N* : a+b2=k(a2b−1)
\(\Leftrightarrow\) a+k=b(ka2−b)
Đặt m=ka²−b (m\(\in\)Z) thì ta được a+k=mb
Mặt khác do a,k,b \(\in\) N* nên cho ta m\(\in\)N*
Từ đó ta có:
(m−1)(b−1)=mb−m−b+1=a+k−ka²+1=(a+1)(k−ka+1)
Vì m,b ∈ N* nên (m−1)(b−1) ≥ 0
\(\Rightarrow\) (a+1)(k−ka+1) ≥ 0 \(\Rightarrow\) (k−ka+1)≥  0
\(\Rightarrow\) 1 ≥ k(a−1)
Lúc này vì k,a ∈ N* nên a−1 ≥ 0. Suy ra chỉ có thể xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: k(a−1)=0 ⇒ a−1=0 hay a=1
Thay a=1 vào đẳng thức (m−1)(b−1)=(a+1)(k−ka+1) ta được
(m−1)(b−1)=2 ⇒ b−1=1∨b−1=2 ⇒ b=2∨b=3

Trường hợp 2: k(a−1)=1 ⇒ k=a−1=1 hay k=1∧a=2
Thay k=1 và a=2 vào đẳng thức (m−1)(b−1)=(a+1)(k−ka+1) ta được
(m−1)(b−1)=0 ⇒ m−1=0∨b−1=0 ⇒ m=1∨b=1
Nếu như m=1 thì từ đẳng thức a+k=mb cho ta b=3

Vậy có 4 cặp số nguyên dương (a,b) thỏa yêu cầu bài toán là (1,2);(1,3);(2,1);(2,3) 

lớp 9 sao ghi lớp 6 @@ thế thì thui ko làm nữa !      

Nếu a = b = 1 thì a²b - 1 = 0 ( không thõa mãn đề bài). Vậy a, b không đồng thời bằng 1.

Vì a và b nguyên dương => a+ b² và a²b - 1 cũng là số nguyên dương.

Mà a+b² chia hết cho a²b -1 

=> Tồn tại số nguyên dương q sao cho a +b = (a²b - 1)q

<=>a+ q = b(a² +q - b )

Mà vì a,b,q là nguyên dương => a²q - b là nguyên dương.

Đặt: m = a²q - b => m là nguyên dương.

Vậy a+q = bm (1)

và a²q = b +m (2)

Xét:  ( m - 1)(b-1)

     = bm - (b+m ) +1

     = q+ q - a²q + 1

     = (a+1)(1+q-aq)

Hay (m-1)(b-1)

     = (a+1)(1+q+aq)                  (3)

Vì b,m nguyên dương

=> ( m-1)(b-1) \(\ge\) 0

=> (a+1)(1+q-aq) \(\ge\) 0

=> 1+q - aq \(\ge\) 0

( Vì a>0 => a+1 >0)

q(a-1) \(\le\) 1. Mà a nguyên dương => a - 1 là số nguyên không âm

=>a(a-1) là số nguyên không âm 

Tức là q(a-1) là số nguyên thõa : 0\(\le\) q(q-1) \(\le\)1

=> q(a-1) = 0 hoặc q(a-1)=1 =>a=1( vì q>0) hoặc q=1; a = 2

Nếu a=1 

Từ (3) ta có 

(m-1)(b-1)=2

Vì m,b  nguyên dương nên các số : m - 1 ; b-1 là nguyên không âm

Vây: b-1=1 hoặc b-1=2

=>b = 2 hoặc b= 3 

Vậy a = 1 => b=2

       a=1  => b=3

Nếu q=1 ; a=2 

Từ (3) => (m-1)(b-1)=0

=> m =1 hoặc b= 1

Khi m=1

Từ (1) => b=3

=>a=2; b=3

Khi b=1=>a=2;b=1

Vậy các giá trị cần tìm của a và b là :

(a, b)= (1;2), (1;3), (2;3),(2;1)

Nhớ **** mình nha bạn Alex Queeny