Chứng minh rằng :
\(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) với \(a,b\ne0\)
Bài 1: a) Cho a+b+c=6 và ab+bc+ac=9. Chứng minh rằng 0<a<4; 0<b<4; 0<c<4.
b) Cho a+b+c=2 và a2+b2+c2=2. Chứng minh rằng: \(0\le a\le\frac{4}{3};\)\(0\le b\le\frac{4}{3};\)\(0\le c\le\frac{4}{3}.\)
Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c
Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9
\(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)
Mà a+b=6-c (cmt)
\(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)
\(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2
Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c
\(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab
Mà a+b=6-c (cmt)
ab= 9-6c+c2 (cmt)
\(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)
\(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2
\(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0
\(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)
*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)
*
Bài 1: Cho a, b cùng dấu. Chứng minh rằng: \(\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^3\le\left(\frac{a^3+b^3}{2}\right)^2\)
Bài 2: Cho \(a^2+b^2\ne0\). Chứng minh rằng: \(\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{b^2}{3a^2+2b^2}\le\frac{3}{5}\)
Bài 3: Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}+\frac{16}{a+b}\ge5\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Bài 4: Cho a, b>0. Chứng minh rằng: \(\frac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
Cho a, b,c,d dương.
Chứng minh rằng \(\frac{2a}{a^6+b^4}+\frac{2b}{b^6+c^4}+\frac{2c}{c^6+a^4}\le\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\)
Chứng minh rằng với mọi a, b thuôc R luôn có :
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)
ta sẽ chứng minh với mọi x,y luôn có \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\)(*)
thật vậy, (*) tương đương với \(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\), luôn đúng
khi đó áp dụng (*) ta được
\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)(đpcm)
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
1, Cho x+y=2 Chứng minh x4+y4\(\ge2\)
2,Với mọi a,b Chứng minh a4+ b4\(\ge a^3b+ab^3\)
3, Cho a>0 , b>0. Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)
4, Chứng minh: x4+y4\(\le\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\)với xva2 y khác 0.
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
1/Thêm 6 vào 2 vế,ta cần c/m:
\(\left(x^4+1+1+1\right)+\left(y^4+1+1+1\right)\ge8\)
Thật vậy,áp dụng BĐT AM-GM cho cái biểu thức trong ngoặc,ta được:
\(VT\ge4\left(x+y\right)=4.2=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 (loại x = y = -1 vì không thỏa mãn x + y = 2)
Với a,b là các số dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b^2+a^4}+\frac{b}{b^4+a^2}\le\frac{1}{ab}\)
Dùng Bất đẳng thức Cô sy cho mẫu số
ta có
\(a^4b^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)\(=>\frac{a}{a^4+b^2}\le\frac{a}{2a^2b}=\frac{1}{2ab}\)
tương tự ta có
\(\frac{b}{b^4+a^2}\le\frac{1}{2ab}\)
\(=>\frac{a}{a^4+b^2}+\frac{b}{b^4+a^2}\le\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}=\frac{1}{ab}\)
dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^4=b^2\\a^2=b^4\end{cases}=>a^2=b^2=1}\)
Ta có:
\(a^4b^2\ge2\sqrt{a^4b^2=2a^2\Rightarrow\frac{a}{a^4+b^2}}\le\frac{1}{2ab}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{b}{b^4+a^2\le\frac{1}{2ab}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^4+b^2}+\frac{b}{b^4+a^2}\le\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}=\frac{1}{ab}\)
Dấu = xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}a^4=b^2\\a^2=b^4\end{cases}\Rightarrow a^2=b^2=1}\)
1. Cho \(a>0,b>0\). C/m \(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\)
2. Cho \(a\ne0,b\ne0\). C/m \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)
3. C/m \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
4. C/m \(\frac{x^2+y^2}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
5. \(\forall a,b>0\). C/m \(\frac{a^3}{b}+b^3>a^2+ab\)
1.a>0.√a
2.c/mb/z+x/y=a/b6
=x/y=y/x
4.xxy/2 2
5.a/b+ab=ab2
Cho \(a,b\ne0\). Chứng minh rằng : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\ge0\).
Ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1\right)\)
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\), với mọi a, b \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\); \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1\ge1\)
Từ đó suy ra đpcm
Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có;
\(\Sigma_{cyc}\frac{a\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2+a^2}\le\frac{6}{5}\)