Cho các số dương x, y, z, t có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}+\frac{16}{t}\)\(\ge64\)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)\ge64\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và sử dụng giả thiết x+y+z=1 ta có :
\(1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}=\frac{x+x+y+z}{x}\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}\)
CMTT ta có : \(1+\frac{1}{y}\ge\frac{4\sqrt[4]{xy^2x}}{y}\); \(1+\frac{1}{z}\ge\frac{4\sqrt[4]{xyz^2}}{z}\)
Nhân vế với vế các bđt trên ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1/3
Sử dụng giả thiết và áp dụng bất đẳng thức Cô si cho bốn số dương ta có
Tương tự và .
Nhân theo vế ba bất đẳng thức vừa nhận được suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Cho cac so duong x y z t co tong bang 1
CMR \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}+\frac{16}{t}\ge64\)
BĐT phụ:\(\frac{m^2}{n}+\frac{p^2}{q}\ge\frac{\left(m+p\right)^2}{n+q}\) với n,p dương;m,p thực bất kỳ
Áp dụng:
\(RHS\ge\frac{\left(1+1+2+4\right)^2}{x+y+z+t}=\frac{64}{1}=64\)
x, y, z, t là các số dương và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{t}=4\). chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+z}+\frac{\sqrt{z}}{1+t}+\frac{\sqrt{t}}{1+x}\ge2\)
Cho bốn số dương x; y; z; t chứng minh rằng :
\(\frac{9}{10}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}< \frac{9}{4}\)
Ta có: \(A=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}\)
\(A>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=1>\frac{9}{10}\)
\(A< \frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+x}{x+y+z+t}+\frac{z+y}{x+y+z+t}+\frac{t+z}{x+y+z+t}=2< \frac{9}{4}\)
Vậy: \(\frac{9}{10}< A< \frac{9}{4}\)
bạn girl làm đúng rồi , giống ý tưởng của mình là đánh giá dãy trên nhỏ hơn 1 và lớn hơn 2
Nhưng bạn nên đánh giá rõ từng phân số nhé , không nên làm tắt như bài của bạn ấy :)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\)\(\le\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{9}{4}\)
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\le\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)+\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\le\frac{y+z}{4x}+\frac{z+x}{4y}+\frac{x+y}{4z}\)
Ta có:
\(VP=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\)
\(\ge\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=VT\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\)\(\le\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}+\frac{9}{4}\)
a)CHO \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
Chứng minh biểu thức sau: \(M=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)
Có giá trị là số nguyên.
b) Tìm 2 số dương biết tổng , hieuj , tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với ba số 20, 120, 16
cậu giải từng ý cho mik cũng được ko phai giải 2 cÁI 1 LÚC ĐÂU
cho 4so x,y,z,t thuộc tập hợp các số nguyên dương trong đó ý là trung bình cộng của x và z. chứng minh rằng 4 số lập thành tỉ lệ thức nếu\(\frac{2}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\)
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)chứng minh rằng
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Bài này áp dụng BĐT này nhé , với x,y > 0 ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ( Cách chứng minh thì chuyển vế quy đồng nhé )
Áp dụng vào bài toán ta có :
\(\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{4}\left(\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(z+x\right)}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+x}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Do đó : \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\) (đpcm)
Ta có: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Tương tự: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
Cộng vế theo vế có: \(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=1\)
cách 1:
với a,b>0 ta có: 4ab < (a+b)2 \(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
dấu "=" xảy ra khi a=b
áp dụng kết quả của trên ta có:
\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2x}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{z}\right)\left(1\right)\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2y}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\right]=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{2z}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{2y}+\frac{2}{2x}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
vậy \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
thấy trong các bđt (1)(2)(3) thì dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\frac{3}{4}\)
cách 2:
áp dụng bđt 1\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)và bđt Cosi cho các số dương ta có:
\(2x+y+z=\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{xyz}\right)\)
do đó: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}\right)\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}\right)\end{cases}}\)
cộng theo từng vế 3 bđt trên ta được:
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\left(3\right)\)
từ (3), (4) => đpcm
cách 3:
mặt khác từ bđt Cosi cho 4 số dương hoặc bđt Bunhiacopsky
\(\left(x+x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4\sqrt[4]{x^2\cdot yz}\ge4\sqrt[4]{\frac{1}{x^2yz}}=16\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\end{cases}}\)
cộng 3 vế của bđt trên ta được đpcm