1) 

Đặt \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\)( a khác 0 )

Ta có:

\(f\left(1\right)=a+b+c+d+e=0\)                                            (1)

\(f\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=0\)                              (2)

\(f\left(3\right)=81a+27b+9c+3d+e=0\)                           (3)

\(f\left(4\right)=256a+64b+16c+4d+e=6\)                      (4)

\(f\left(5\right)=625a+125b+25c+5d+e=72\)                (5)

\(A=f\left(2\right)-f\left(1\right)=15a+7b+3c+d=0\)

\(B=f\left(3\right)-f\left(2\right)=65a+19b+5c+d=0\)

\(C=f\left(4\right)-f\left(3\right)=175a+37b+7c+d=6\)

\(D=f\left(5\right)-f\left(4\right)=369a+61b+9c+d=72-6=66\)

\(E=B-A=50a+12b+2c=0\)

\(F=C-B=110a+18b+2c=6\)

\(G=D-C=194a+24b+2c=66-6=60\)

Tiếp tục lấy H=F-E; K=G-F; M=H-K

Ta tìm được a

Thay vào tìm được b,c,d,e

1. gọi đa thức cần tìm là f(x) =a.x^4+b.x^3+c.x^2+dx+e

có f(1)=f(2)=f(3) = 0 nên x=1,2,3 la nghiệm của f(x) = 0 vậy f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(mx+n) 

thay f(4)=6 và f(5)=72 tìm được m =2 và n= -7 

Vậy đa thức f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(2x-7) => e = (-1).(-2).(-3).(-7) = 42

Với x=2010 thì (a 2010^4+b.2010^3+c.2010^2+d.2010 ) luôn chia hết 10 vậy số dư f(2010) chia 10 = số dư d/10 = 2 (42 chia 10 dư 2).

2. Thiếu dữ liệu 

3. đa thức f(x) chia đa thức (x-3) có số dư là 2 =>bậc f(x) = bậc (x-3)=1 và f(x) = m.(x-3) +2=mx+2-3m (1)

...........................................(x+4)...................9..........................................f(x) = n(x+4) + 9=nx+4n+9 (2)

để (1)(2) cùng xảy ra thì m=n và (2-3m)=(4n+9) => m = n = -1 khi đó đa thức f(x) = -x +5 

Không hiếu dữ liệu cuối f(x) chia 1 đa thức bậc 2 lại có thương là 1 đa thức bậc 2? => vô lý 

Gọi thương của phép chia   f(x)    cho  (x+2)  là  A(x);   cho  (x-2)   là   B(x)

Theo bài ra ta có:   f(x)  =  (x+2).A(x) + 10           \(\Rightarrow\)   f(-2) = 10

                               f(x)  =  (x-2).B(x) + 24                        f(2)  =  24

Gọi số dư khi chia  f(x)   cho  x² - 4   là  ax + b

Ta có:     \(f\left(x\right)=\left(x^2-4\right).\left(-5x\right)+ax+b\)

                          \(=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(-5x\right)+ax+b\)

Vì biểu thức trên đúng với mọi  x  nên ta lần lượt thay  \(x=-2;\)\(x=2\)vào biểu thức được:

\(f\left(-2\right)=-2a+b=10\)        \(\Rightarrow\) \(a=3,5\)

\(f\left(2\right)=2a+b=24\)                             \(b=7\)

Vậy   \(f\left(x\right)=\left(x^2-4\right).\left(-5x\right)+3,5x+7\)

                       \(=-5x^3+23,5x+7\)

P.s:  tham khảo nhé

y=17 mới đúng nhé 

f(x)= (x-3). Q(x)+2 moi X 
f(x)=(x+4).H(x)+9 moi X 
=>f(3)= 2 
f( -4)= 9 
f(x)= (x^2+x-12).(x^2+3)+ ax +b 
=(x-3)(x+4). (x^2+3) +ax+b 
=>f(3)= 3a+b=2 
f(-4)=b -4a=9 
=>a= -1; b=5 
=> f(x)=(x^2+x-12)(x^2+3)-x+5 
= x^4+x^3-9x^2+2x-31

Ta thấy :

x² +x -12 = x² +4x - 3x-12

               = x(x+4) - 3(x+4)

               = (x-3)(x+4)

Vì :

f(x) chia (x-1)(x+4) được x² + 3 và còn dư

Mà số dư có bậc không vượt quá 1

   => f(x) = (x-3)(x+4)(x² + 3) +ax +b

Ta có :

f(x) chia (x-3) dư 2

   => f(3)=2

   => 3a+b=2

f(x) chia (x+4) dư 9

   => f(-4)=9

   => b-4a=9

=> 3a+b-b+4a = 2-9

          7a          = -7

=> a= -1

=> -3 + b =2

           b=5

Vậy đa thức f(x) = (x-3)(x+4)(x² + 3) - x + 5

GỌI THƯƠNG CỦA PHÉP CHIA f(x) cho (x-2)    và (x+5) lần lượt là p(x) và Q(x)

theo bài ra ta có 

\(\hept{\begin{cases}f._x=\left(x-2\right).p._{\left(x\right)}+1............\left(1\right)\\f._{\left(x\right)}=\left(x+5\right).Q._{\left(x\right)}+8.......\left(2\right)\end{cases}}\)

GỌI THƯƠNG CỦA PHÉP CHIA f(x) cho (x-2)(x+5)  [ là x^2+3x-10  phân tích thành]              =2x là g(x) và số dư là  nhị thức bậc nhất là ax+b

ta có,            \(f._{\left(x\right)}=\left(x-2\right)\left(x+5\right).g._{\left(x\right)}+ax+b....................\left(3\right)\)

TỪ (1) VÀ (3) TA CÓ X=2 THÌ                    \(\hept{\begin{cases}f._2=1\\f_2=2a+b\end{cases}}\)        

=>         2a+b=1    =>b=1-2a                (4)

TỪ (2) VÀ (3) TA CÓ X=-5   THÌ                     \(\hept{\begin{cases}f_{\left(-5\right)}=8\\f_{\left(-5\right)}=-5a+b\end{cases}}\)

=>        8=-5a+b  =>b=8+5a                 (5)

TỪ (4) VÀ (5) =>1-2a=8+5a    <=> a=-1

                                                => b=3

vậy số dư là   -x+3

vậy đa thức f(x) =(x-2)(x+5) .2x+(-x+3)=\(2x^3+6x^2-21x+3\)  

Câu hỏi của Bạch Quốc Huy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo bài tương tự tại đây nhé.

Huyền hỏi 2 bài liên tiếp à viết nhanh thế

Các dạng bài này đc giải rất nhiều sao bạn ko coi thế?

Vì f(x) chia x-3 dư 7 

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-3\right)q\left(x\right)+7\)

\(\Rightarrow f\left(3\right)=7\)

Vì f(x) chia x-2 dư 5

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)q\left(x\right)+5\)

\(\Rightarrow f\left(2\right)=5\)

Ta có f(x) khi chia (x-2)(x-3) thì được thương là 3x và còn dư

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)3x+ax+b\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(2\right)=2a+b=5\\f\left(3\right)=3a+b=7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)

Vậy \(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)3x+2x+1\)