\(ĐK:x\ne\pm1\)

\(\Leftrightarrow\frac{ax^2-x+ax-1+bx-b}{x^2-1}=\frac{a\left(x^2+1\right)}{x^2-1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ax^2+x\left(a-1+b\right)-b-1}{x^2-1}=\frac{ax^2+a}{x^2-1}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne\pm1\\a+b-1=0\\-b-1=a\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne\pm1\\a+b-1=0\\-b-1=a\end{cases}}\)

Giải ra :D

ĐKXĐ:\(\hept{\begin{cases}a,b\ne0\\x\ne b\\x\ne c\end{cases}}\)

Ta có:\(\frac{2}{a\left(b-x\right)}-\frac{2}{b\left(b-x\right)}=\frac{1}{a\left(c-x\right)}-\frac{1}{b\left(c-x\right)}\)

      \(\Leftrightarrow\frac{2}{b-x}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{c-x}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\left(\frac{2}{b-x}-\frac{1}{c-x}\right)=0\)

Nếu \(a=b\)thì phương trình đúng với mọi nghiệm x

Nếu \(a\ne b\)thì phương trình có nghiệm

\(\frac{2}{b-x}-\frac{1}{c-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(c-x\right)}{\left(c-x\right)\left(b-x\right)}-\frac{1\left(b-x\right)}{\left(c-x\right)\left(b-x\right)}=0\)

\(\Rightarrow2c-2x-b+x=0\)

\(\Leftrightarrow-x=b-2c\)

\(\Leftrightarrow x=2c-b\left(tmđkxđ\right)\)

Vậy ..............................................................................................

a. \(m-2\ge\left(2m-1\right)x-3\Leftrightarrow m+1\ge\left(2m-1\right)x\)

Với \(2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2},bpt\Leftrightarrow\frac{3}{2}\ge0\) đúng với mọi x.

Với \(2m-1>0\Rightarrow m>\frac{1}{2},bpt\Leftrightarrow x\le\frac{m+1}{2m-1}\)

Với \(2m-1< 0\Rightarrow m< \frac{1}{2},bpt\Leftrightarrow x\ge\frac{m+1}{2m-1}\)

Với \(m>\frac{1}{2},\) S = ( \(-\infty;\frac{m+1}{2m-1}\)]

Vậy với \(m=\frac{1}{2}\Rightarrow S=R.\)

Với \(m< \frac{1}{2},\)S = [ \(\frac{m+1}{2m-1};+\infty\))

b. \(bpt\Leftrightarrow\frac{\left(ax+1\right)\left(a+1\right)-\left(ax-1\right)\left(a-1\right)}{a^2-1}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2ax+2a}{a^2-1}>0\)

Với a > 1 thì \(a^2-1>0\Rightarrow ax+a>0\Rightarrow x+1>0\Rightarrow x>-1\forall a>1\)

Vậy với a > 1 thì bpt luôn có tập nghiệm \(S=\left(-1;+\infty\right)\)

ĐK : \(\hept{\begin{cases}ax-1\ne0\\bx-1\ne0\\\left(a+b\right)x-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ax\ne1\\bx\ne1\\\left(a+b\right)x\ne1\end{cases}}}\)     (2) 

        Ta có thể viết phương trình dưới dạng : \(abx\left[\left(a+b\right)x-2\right]=0\)  (3) 

TH1 : a = b = 0 

Điều kiện 2 luôn đúng , khi có : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\), phương trình nghiệm đúng \(\forall x\in R\)

TH2 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a=0\\b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{b}\), khi đó : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\),  phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\ne\frac{1}{b}\)

TH3 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a\ne0\\b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\), khi đó : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\),  phương trình nghiệm đúng với \(\forall x\ne\frac{1}{a}\)

TH4 : Nếu '\(\hept{\begin{cases}a\ne0\\a+b=0\end{cases}\Leftrightarrow b=-a\ne0}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\)và \(x\ne\frac{1}{b}\)

Khi đó : (3) \(\Leftrightarrow x=0\),  là nghiệm duy nhất của phương trình . 

TH5 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a\ne0\\b\ne0\\a+b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\)và \(x\ne\frac{1}{b}\)và \(x\ne\frac{1}{a+b}\Rightarrow\)(2) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{2}{a+b}\end{cases}}\)

Nghiệm \(x=\frac{2}{a+b}\)chỉ thỏa mãn đk khi a\(\ne\)b 

KL : ............

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x-1\ne0\\x+1\ne0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ne-1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(ax-1\right)\left(x+1\right)+b\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{a\left(x^2+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(ax-1\right)\left(x-1\right)+b\left(x-1\right)=a\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ax^2-ax-x+1+bx-b=ax^2+a\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(ax-1\right)\left(x+1\right)}{x^2-1}+\frac{b\left(x-1\right)}{x^2-1}=\frac{a\left(x^2+1\right)}{x^2-1}\left(x\ne+-1\right)\)

\(\Rightarrow ax^2+ax-x-1+bx-b=ax^2+a\)

\(\Leftrightarrow ax+bx-a-b-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow ax+bx-x-a-b+1=2\)

\(\Leftrightarrow x\left(a+b-1\right)-\left(a+b-1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(a+b-1\right)=2\left(1\right)\)

-(1) vô nghiệm khi x=+-1

-(1) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{2}{a+b-1}+1=\frac{a+b+1}{a+b-1}\).

Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a+b+1}{a+b-1}\ne1\\\frac{a+b+1}{a+b-1}\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a+b+1\ne-\left(a+b-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ne0\Leftrightarrow a\ne-b\)