a) Ta chứng minh A N = C M A N ∥ C M ⇒ A M C N  là hình bình hành.

Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm AC

Do ANCM là hình bình hành có AC và MN là hai đường chéo

⇒  O là trung điểm MN

b. Ta có: EM//AC nên E M D ^ = A C D ^ (2 góc so le trong)

NF//AC nên B N F ^ = B A C ^  (2 góc so le trong)

Mà A C D ^ = B A C ^  (vì AB//DC, tính chất hình chữ nhật)

⇒ E M D ^ = B N F ^

Từ đó chứng minh được  ∆ E D M   =   ∆ F B N   ( g . c . g )

⇒ E M = F N

Lại có EM//FN (vì cùng song song với AC)

Nên tứ giác ENFM là hình bình hành

c) Tứ giác ANCM là hình thoi Û AC ^ MN tại O Þ M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua O, vuông góc AC và cắt CD, AB.

Khi đó M và N là trung điểm của CD và AB.

d) Ta chứng minh được DBOC cân tại O ⇒ O C B ^ = O B C ^   v à   N F B ^ = O C F ^  (đv) Þ DBFI cân tại I Þ IB = IF  (1)

Ta lại chứng minh được DNIB cân tại I Þ IN = IB  (2)

Từ (1) và (2) Þ I là trung điểm của NF.

a: Xét tứ giác ANCM có

AN//CM

AN=CM

DO đó: ANCM là hình bình hành

b: Xét ΔBAC có NF//AC

nên NF/AC=BN/BA=DM/DC

Xét ΔDACcó EM//AC

nên EM/AC=DM/DC=NF/AC

=>EM=NF

Xét tứ giác NFME có

NF//ME

NF=ME

Do đó: NFME là hình bình hành

=>EN//FM và EN=FM

Ta có ABCD là hình chứ nhật (gt)
=> AB = CD (t/c)
AB = BC(t/c)
góc ADM = góc NBC = 90 độ (t/c)

Xét tamgiác ADM và tam giác NBC có

NB = DM ( gt)

góc ADM = góc NBC = 90 độ ( cmt)
AD = BC ( cmt )

=> Tam giác ADM = Tam giác NBC ( c.g.c)

=> AM =NC ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có AB = CD ( cmt )

DM = NB (gt)

mà AN+ NB = AB

DM + MC = DC

=> AN = MC
Xét tứ giác ANCM có
AM = NC ( cmt)
AN = MC (cmt)

=> tứ giác ANCM là Hình bình hành ( dhnb)

=> MN giao AC tại O
=> O là trung điểm của MN

=> M, O , N thẳng hàng

Xét ΔAOM và ΔCON có 

\(\widehat{MAO}=\widehat{NCO}\)

OA=OC

\(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\)

Do đó: ΔAOM=ΔCON

Suy ra:OM=ON

hay M và N đối xứng nhau qua O