Question

Cho hình chữ nhật ABCD, O'là giao điểm hai đường chéo . M thuộc CD và N thuộc AB sao cho DM= BN. Chứng minh rằng

a, ANCM là hình bình hành , từ đó suy ra các điểm M, O, N thẳng hàng

b, Qua M kẻ đường thảng song song với AC cắt AD ở E , qua N kẻ đường thảng song song với AC cắt BC ở F. CHúng minh rằng EN=FM, EN//FM

c, Tìm vị trí của điểm M , N để ANCM là hình thoi

d, BD cắt NF tại I. CHứng minh I là trung điểm NF

 

Answer 1

⇒1/2AB=AM=1/2CD=CN

Mặt khác, M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do đó, AM//CN

Tứ giác AMCN có cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành (đpcm)

b, Tứ giác AMCN là hình bình hành

⇒M1ˆ=N1ˆ (Hai góc đối của hình bình hành AMCN)

⇒M2ˆ=N2ˆ (Do M1ˆ và M2ˆ là hai góc kề bù; N1ˆ và N2ˆ là hai góc kề bù)

Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên AB//CD ⇒B1ˆ=D1ˆ

ΔEDN và ΔKBM có:

M2ˆ=N2ˆ

DN=BM

B1ˆ=D1ˆ

⇒ΔEDN=ΔKBM(g.c.g)

⇒ED=KB (đpcm)

c, Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình bình hành

⇒OA=OC

ΔCAB có:

MA=MB

OA=OC

MC cắt OB tại K

⇒ K là trọng tâm của ΔCAB

Mặt khác, I là trung điểm của BC

⇒ IA,OB,MC đồng quy tại K

Hoặc  AK đi qua trung điểm I của BC