a, \(A=\left(\frac{4}{2x+1}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)

\(=\left(\frac{4\left(x^2+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)}+\frac{4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)

\(=\left(\frac{4x^2+4+4x-3}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\right)\frac{x^2+1}{x^2+2}\)

\(=\frac{\left(2x+1\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(2x+1\right)}\frac{x^2+1}{x^2+2}=\frac{2x+1}{x^2+2}\)

để A nhỏ nhất <=>\(x^2+2x+3\)nhỏ nhất (vi (\(\left(x+2\right)^2\)\(\ge\) 0 )

                       A = \(x^2+2x+1+2\)

                <=> A =\(\left(x+1\right)^2+2\)

vì \(\left(x+1\right)^2\)\(\ge\)o

nên \(\left(x+1\right)^2+2\ge2\)

<=>A \(\ge2\)

đấu = xảy ra <=>x+1=0

                   <=>x=-1

vậy min A =2 <=>x=-1

Ta có:

\(2A=\frac{2x^2+4x+6}{\left(x+2\right)^2}=\frac{\left(x^2+4x+4\right)+x^2+2}{\left(x+2\right)^2}=1+\frac{x^2+2}{\left(x+2\right)^2}\)

Đặt  \(B=\frac{x^2+2}{\left(x+2\right)^2}\)  và  \(y=x+2\Leftrightarrow x=y-2\) 

Vì  \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất  \(\Leftrightarrow\) \(B\)  nhỏ nhất nên ta có:

\(B=\frac{\left(y-2\right)^2+2}{y^2}=\frac{y^2-4y+4+2}{y^2}=\frac{y^2-4y+6}{y^2}=1-\frac{4}{y}+\frac{6}{y^2}\)

\(B=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{4}{y}+\frac{6}{y^2}=\frac{1}{3}+\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2-2.\sqrt{\frac{2}{3}.}\frac{\sqrt{6}}{y}+\left(\frac{\sqrt{6}}{y}\right)^2\)

\(B=\frac{1}{3}+\left[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)-\frac{\sqrt{6}}{y}\right]^2\ge\frac{1}{3}\) với mọi  \(y\)

Do đó:

\(2A=1+\frac{1}{3}+\left[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)-\frac{\sqrt{6}}{y}\right]^2\)

\(2A=\frac{4}{3}+\left[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)-\frac{\sqrt{6}}{y}\right]^2\ge\frac{4}{3}\) với mọi  \(y\)

\(\Rightarrow\)  \(A\ge\frac{2}{3}\)

Dấu  \(''=''\)  xảy ra   \(\Leftrightarrow\left[\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)-\frac{\sqrt{6}}{y}\right]^2=0\)

                                \(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{\sqrt{6}}{y}=0\)

                               \(\Leftrightarrow y=3\)

                               \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(Min\)  \(A=\frac{2}{3}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=1\)

2.

a/\(A=5-I2x-1I\)

Ta thấy: \(I2x-1I\ge0,\forall x\)

nên\(5-I2x-1I\le5\)

\(A=5\)

\(\Leftrightarrow5-I2x-1I=5\)

\(\Leftrightarrow I2x-1I=0\)

\(\Leftrightarrow2x=1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của \(A=5\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

b/\(B=\frac{1}{Ix-2I+3}\)

Ta thấy : \(Ix-2I\ge0,\forall x\)

nên \(Ix-2I+3\ge3,\forall x\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{Ix-2I+3}\le\frac{1}{3}\)

\(B=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{Ix-2I+3}=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow Ix-2I+3=3\)

\(\Leftrightarrow Ix-2I=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy GTLN của\(A=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=2\)

Hai bài này có mấy cái bình phương sẵn rồi nên chỉ sài cái bất đẳng thức \(A^2\ge0\)là được rồi

a/Ta có \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)^4\ge0\)

Do đó \(\left(2x+\frac{1}{3}\right)^4-1\ge0-1\)

\(\Leftrightarrow A\ge-1\)

Tới đây vì A lớn hơn hoặc bằng -1 nên giá trị nhỏ nhất của A là -1

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là -1

b/Bạn làm hệt như câu a, với lại nếu bạn suy ra \(A\ge-1\)thì bạn kết luận luôn Giá trị nhỏ nhất của A là -1

eeeee

e cái gì là em bé à