Ta có:\(2n^4+3n^2+1=\left(n^2\right)^2+2n^21^2+1^2+\left(n^4+n^2\right)=\left(n^2+1\right)^2+n^2\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n^2+1\right)\left(2n^2+1\right)\)

Vì \(\left(n^2+1\right)\left(2n^2+1\right)\)mà \(2n^2+1\ge n^2+1\)

\(\Rightarrow2n^2+1⋮n^2+1\)

\(\Rightarrow2n^2+2-1=2\left(n^2+1\right)-1⋮n^2+!\)

\(\Rightarrow-1⋮n^2+1\)

Mà \(n^2+1>0\)

\(\Rightarrow n^2+1=1\Rightarrow n=0\)

Do $2n+1$ là số chính phương lẻ nên $2n+1$ chia $8$ dư $1$,vậy $n$ là số chẵn.
Vì $3n+1$ là số chính phương lẻ nên $3n+1$ chia $8$ dư $1$
$⟹3n⋮8$
$⟺n⋮8\left(1\right)$
Do $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương lẻ có tận cùng là $1;5;9$.do đó khi chia cho $5$ thì có số dư là $1;0;4$
Mà $(2n+1)+(3n+1)=5n+2$ ,do đo $2n+1$ và $3n+1$ khi cho cho $5$ đều dư $1$
$⟹n⋮5\left(2\right)$
Từ (1) và (2)$⟹n⋮40$
Vậy $n=40\mathrm{k\; th}$ì 3n + 1 và 2n + 1 đều là số chính phương

Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:

\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)

Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)

Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\)  => (a - 1).(a - 9) = 0

=> a = 9. Từ đó ta có n = 40

Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40

ko biet

để t làm cho
 

10 < n < 99  \(\Leftrightarrow\)21 < 2n + 1 < 201

2n + 1 là số chính phương lẻ nên

2n + 1 \(\in\){ 25 ; 49 ; 81 ; 121 ; 169 }

\(\Rightarrow\)n  \(\in\){ 12 ; 24 ; 40 ; 60 ; 84 }

\(\Rightarrow3n+1\in\left\{37;73;121;181;253\right\}\)

\(\Rightarrow n=40\)