2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)

Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1

3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)

Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)

\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Dễ dàng chứng minh được \(y+z\le\sqrt{\frac{\left(y^2+z^2\right)}{2}}\Rightarrow y+z\le\frac{b}{\sqrt{2}}\)

đặt \(\sqrt{x^2+y^2}=a;\sqrt{y^2+z^2}=b;\sqrt{z^2+x^2}=c\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a+b+c=6\\a,b,c>0\end{cases}}\)

\(P\ge\frac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2\sqrt{2}c}+\frac{c^2+b^2-a^2}{2\sqrt{2}a}\)\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{a}-\left(a+b+c\right)\right)\)

\(\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}-\left(a+b+c\right)\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)\right)\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot6=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\)

\(y+z\le\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\sqrt{2}+\sqrt{2}\le\sqrt{2}.\)  " thay căn 2 "

yim yim sao t thay số vào thì cái bdt của m lại sai ???? 

bài m sai rồi hahah

\(\left(x+y\right)\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt tự làm nha

Theo vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1.x_2=m-2\end{cases}}\)

\(2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=3\)

\(\Leftrightarrow4\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{2}{\sqrt{x_1.x_2}}\right)=9\)

\(\Leftrightarrow4\left(\frac{5}{m-2}+\frac{2}{\sqrt{m-2}}\right)=9\)

Làm nốt nhé

Câu 1:

M=\(\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(2x+2y\right)+1+\left(4x^2-4x+1\right)+2014\)

=\(\left(\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1\right)+\left(2x-1\right)^2+2014\)

=\(\left(x+y+1\right)^2+\left(2x-1\right)^2+2014\ge2014\)

\(\Rightarrow M\ge2014\Leftrightarrow minM=2014\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+1=0\\2x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0,5\\y=1,5\end{cases}}\)

2/ \(S=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=9\)

Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có:

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+16\right)\ge\left(x+\frac{4}{x}\right)^2\) => \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{\left(x+\frac{4}{x}\right)^2}{17}\)

=> \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{17}}=\frac{x}{\sqrt{17}}+\frac{4}{x\sqrt{17}}\)

CMTT: \(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{y}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}y}\)

\(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}z}\)

=> A \(\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}\)(bđt: 1/a + 1/b + 1/c > = 9/(a+b+c)

=> A \(\ge\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}-\frac{15\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\)

A \(\ge2\sqrt{\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\cdot\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}}-\frac{15\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}\)(Bđt cosi + bđt: x + y + z < = 3/2)

A \(\ge\frac{48}{\sqrt{17}}-\frac{45}{2\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 1/2

Vậy MinA = \(\frac{3\sqrt{17}}{2}\) <=> x = y = z = 1/2

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(BĐT Svacxo)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge8\)(1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\ge4\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+\sqrt{xy}+y\ge16\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)

Muốn cô k cũng dễ lắm. Tuy nhiên cái cô muốn là các em làm được bài trên OLM sẽ nhìn ra được những lỗi sai của mình thì để lần sau trong các cuộc thi HSG hay các bài kiểm tra trên lớp sẽ không bị mắc phải những cái lỗi tương tự.

bài phía dưới: Từ (1) , (2) => \(x+2\sqrt{xy}+y\ge16\) nha

Bỏ qua lỗi này. Cái quan trọng là khi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất em cần phải biết nó đạt tại x =?, y=?.

nếu bỏ qua phần này sẽ bị trừ điểm rất nặng. :)

Em cảm ơn cô ạ

tích cho t nha

làm đi r le duy manh

xét bình phương biểu thức trong dấu giá tri tuyetj đối

Bình phường hai vế lên ta có :

\(\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}^2=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|^2\)

Xét: \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)

mà \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{z+x+y}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)