IM=IA+AM

=IA+AB/2

=(2AI+AB)/2

=(IA+IB)/2

c) Ta có: MH//AB(cmt)

nên EH//AB

Suy ra: \(\widehat{CHE}=\widehat{CBA}\)(hai góc đồng vị)

mà \(\widehat{CBA}=\widehat{HCE}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)

Xét ΔEHC có \(\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)(cmt)

nên ΔEHC cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Ta có: \(\widehat{ECH}+\widehat{EAH}=90^0\)(ΔAHC vuông tại H)

\(\widehat{EHC}+\widehat{AHE}=90^0\)(HE là tia nằm giữa hai tia HC,HA)

mà \(\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)(cmt)

nên \(\widehat{EAH}=\widehat{EHA}\)

Xét ΔEHA có \(\widehat{EAH}=\widehat{EHA}\)(cmt)

nên ΔEHA cân tại E(Định lí đảo của tam giác cân)

Ta có: EH=EC(ΔEHC cân tại E)

mà EH=EA(ΔEHA cân tại E)

nên EC=EA

hay E là trung điểm của AC(Đpcm)

a) Xét ΔAIH và ΔMIB có 

IA=IM(gt)

\(\widehat{AIH}=\widehat{MIB}\)(hai góc đối đỉnh)

IH=IB(I là trung điểm của BH)

Do đó: ΔAIH=ΔMIB(c-g-c)

Suy ra: AH=MB(hai cạnh tương ứng) 

Xét ΔBMA có 

AB+BM>AM(Bđt tam giác)

mà AH=MB(cmt)

nên AB+AH>AM(Đpcm)

b) Xét ΔBIA và ΔHIM có

IA=IM(gt)

\(\widehat{BIA}=\widehat{HIM}\)(hai góc đối đỉnh)

IB=IH(I là trung điểm của BH)

Do đó: ΔBIA=ΔHIM(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{IBA}=\widehat{IHM}\)(hai góc tương ứng)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//MH(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Xét ΔABC có

AI,CK là các đường trung tuyến

AI cắt CK tại D

Do đó: D là trọng tâm của ΔABC

Xét ΔABC có

CK là đường trung tuyến

D là trọng tâm của ΔABC

Do đó: \(CD=\dfrac{2}{3}CK\)

Ta có: CD+DK=CK

=>\(DK=CK-\dfrac{2}{3}CK=\dfrac{1}{3}CK\)

=>CD=2KD

a: Xét ΔIAB và ΔIMC có

IA=IM

góc AIB=góc MIC

IB=IC

Do đó: ΔIAB=ΔIMC

b: ΔIAB=ΔIMC

=>góc IAB=góc IMC

=>AB//CM

c: Xét tứ giác ABMC có

I là trung điểm chung của AM và BC

góc BAC=90 độ

Do đó: ABMC là hình chữ nhật

=>ΔMBC vuông tại M