Giả sử gọi hình thang cân là ABCD có đáy lớn là CD đáy nhỏ là AB 
ta có đường trung bình của hình thang bằng MN= 1/2(AB+CD) 
(M là trung điẻm của AD, N là trung điểm của BC) 
gọi giao của AC và BD là K từ K kẻ đường thẳng vuông với AB và CD dễ thấy đường thẳng đó đi qua trung điểm I của AB và J của CD 
mà K lại vuông nên KI = 1/2 AB 
KJ= 1/2 CD 
ta có 
IJ= 1/2(AB+CD)=MN= AH = 10 cm

Kể AH⊥CDAH⊥CD và AM // BD.

Do AB // MD, AM // BD \Rightarrow AB=MD và AM=BD ( tính chất đoạn chắn )

Ta có AC=BD ( hình thang ABD cân ) , AM = BD \Rightarrow AM=AC 

\Rightarrow ΔΔ ACM cân tại A \Rightarrow đường cao AH đồng thời là trung tuyến.

Do AM // BD, AC⊥BD→AM⊥AC→ΔAC⊥BD→AM⊥AC→Δ ACM vuông tại A.

Xét ΔΔ ACM vuông tại A có AH là trung tuyến thuộc cạnh huyền MC

\Rightarrow CM=2AH.

Ta có CM=CD+MD=AB+CD \Rightarrow AB+CD=2AH=2.10=20cm

\Rightarrow đường trung bình của hình thang ABCD ( AB // CD ) dài 10cm.

Ta có: EF là đg trung bình của hthang ABCD => EF=1/2.(AB+CD)    (1)

Xét hthang ABCD có :\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}.\left(AB+CD\right).AH\)  (2)

Từ (1),(2)=> \(S_{ABCD}=AH.EF\)   (3)

mà hthang ABCD đc chia làm 2 tg ko có điểm trong chung là tg ABC và tg ADC nên \(S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}\)

Mặt khác: \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.BN.AC\)   ;   \(S_{ADC}=\frac{1}{2}.DN.AC\)

=>\(S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.\left(BN+DN\right)=\frac{1}{2}.AC.BD\)   (4)

Từ (3),(4)=> \(AH.EF=\frac{1}{2}.AC.BD=\frac{AC^2}{2}\)   (vì tg ABCD là hthang)

=>\(EF=\frac{AC^2}{2AH}=\frac{AC^2}{20}\)(vì AH=10cm)

Ta c/m đc : AH=HC => AH^2 =HC^2 => AH^2  +   HC^2 = .AH^2 =100

Mà AH^2 +HC^2=AC^2=> AC^2=100

=> EF= 100/20=5 (cm)

ừm, tham khảo

Bn vẽ hình để mik xem sao đã

Bn lấy đt chụp cũng đc

Xét hình thang cân ABCD(AB//CD), hai đường chéo  và  vuông góc với nhau tại O,MN là đường trung bình của hình thang . Qua  kẻ đường thẳng vuông góc với  tại , với  tại .

Xét  và  có:

\(AD=BC\left(gt\right)\)

DC chung

\(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ADC=\Delta BCD\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\\ \Rightarrow\Delta OCD.cân.tại.O\\ \Rightarrow OC=OD\)

Mà  nên \(OA=OB\Rightarrow\Delta OAB.cân.tại.O\)

Lại có \(\widehat{AOB}=90^0\) nên  vuông cân tại , do đó  là đường cao cũng là đường trung tuyến nên  \(OE=\dfrac{AB}{2}\)

Cmtt ta được \(\Delta DOC\) vuông cân tại  nên \(FE=\dfrac{AB+CD}{2}\)

 là đường trung bình của hình thang  nên