a) \(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2=a^2x^2+b^2y^2+2abxy\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2-2abxy+a^2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(bx\right)^2-2\cdot bx\cdot ay+\left(ay\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2=0\Rightarrow bx=ay\Rightarrow\left(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\right)\)

b) \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)

\(=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2bcyz+2acxz\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2-2bxay+a^2y^2+b^2z^2-2bzcy+c^2y^2+a^2z^2-2azcx+c^2x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)

\(\hept{\begin{cases}bx=ay\\bz=cy\\az=cx\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\end{cases}}\Rightarrow\left(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\right)}\)

c) \(\left(a+b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\Leftrightarrow a=b\)

a,  Tương đương   :   \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)   =   \(a^2x^2+2axby+b^2y^2\)  

                                 \(a^2y^2-2axby+b^2x^2=0\) 

                                 \(\left(ay-bx\right)^2\)  = 0

                                 \(ay-bx=0\)

                                 \(ay=bx\)

                                \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)   dpcm

Câu b, c làm tương tự câu a

Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)

1) Đặt n+1 = k^2

2n + 1 = m^2

Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ 

Đặt m = 2t+1

=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2

=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1

=> n = 2t(t+1)

=> n là số chẵn

=> n+1 là số lẻ

=> k lẻ 

+) Vì k^2 = n+1

=> n = (k-1)(k+1)

Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=> (k+1)(k-1) chia hết cho * 

=> n chia hết cho 8

+) k^2 + m^2 = 3a + 2

=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1

=> m^2 - k^2 chia hết cho 3

m^2 - k^2 = a

=> a chia hết cho 3

Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> a chia hết cho 24

ấy nhầm, là n chứ không phải a nha :))

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=ka\\y=kb\\z=kc\end{matrix}\right.\)

Suy ra \(\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(k^2a^2+k^2b^2+k^2c^2\right).\left(a^2+b^2+c^2\right)\\ =k^2.\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[k\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]^2\\ =\left(ka^2+kb^2+kc^2\right)^2=\left(ax+by+cz\right)^2\)

#)Giải :

Ta có: x/a = y/b =z/c =xa/a^2 =yb/b^2 =zc/c^2 = (ax+by+cz)/(a^2+b^2+c^2) 

=>x/a = (ax+by+cz)/(a^2+b^2+c^2) (1) 

mặt khác ta có: x/a=y/b=z/c <=> x^2/a^2 =y^2/b^2 =z^2/c^2 = (x^2+y^2+z^2 ) / (a^2+b^2+c^2) 

=>x^2/a^2 = (x^2+y^2+z^2 ) / (a^2+b^2+c^2) (2) 

từ (1) và (2) ta => (ax+by+cz)^2/(a^2+b^2+c^2)^2 = (x^2+y^2+z^2 ) / (a^2+b^2+c^2) 

=> (x^2+y^2+z^2).(a^2+b^2+c^2)=(ax+by+cz)^2 => đpcm

ĐK a,b,c khác 0

Từ \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)\(\Rightarrow ay-bx=cx-az=bz-cy=0.\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=\left(cx-az\right)^2=\left(bz-cy\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(cx-az\right)^2+\left(bz-cy\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2abxy+b^2x^2\right)+\left(c^2x^2-2acxz+a^2z^2\right)+\left(b^2z^2-2bczy+c^2y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+y^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+z^2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2\right)\)

        \(-2abxy-2bcyz-2acxz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz.\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2.\)

#)Giải :

Ta có : \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{x}{c}=\frac{xa}{a^2}=\frac{yb}{b^2}=\frac{zc}{c^2}=\left(\frac{ac+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{a}=\frac{\left(ax+by+cz\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}\left(1\right)\)

Mặt khác : \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{\left(x^2+y^2+c^2\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\left(đpcm\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2=0\)