Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC, hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P. biết Ap=2PK, CP=2PM. Chứng minh AK và CM là các đường trung tuyến của tam giác ABC
Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P. Biết AP = 2PK và CP = 2PM. Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC
Xét △ PAC và △ PKM,ta có:
Suy ra:
Lại có: ∠ (APC) = ∠ (KPM) (đối đỉnh)
Suy ra: △ PKM đồng dạng △ PAC(c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = 1/2
Suy ra: (1)
Vì △ PKM đồng dạng △ PAC nên ∠ (PKM) = ∠ (PAC)
Suy ra: KM //AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)
Trong △ ABC, ta có: KM // AC
Suy ra: △ BMK đồng dạng △ BAC (g.g)
Suy ra: (2)
Từ 1 và (2) suy ra:
Vì BM = 1/2 BA nên M là trung điểm AB.
Vì BK = 1/2 BC nên K là trung điểm BC.
Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P. Biết rằng AP = 2PK và CP = 2PM.
Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC ?
lấy 2 điểm M và k theo thứ tự trên AB,AC. Hai đoạn thẳng AK,CM cắt nhau tại P. biết rằng AP=2PK;CP=2CM. A,K,C,M là các trung tuyến tam giác ABC
Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB).Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau
Gọi Q là giao điểm của PF và AK ,I là giao điểm của PE và CL
Trong △ FPE ta có: PE//AK hay QM //PE
Suy ra: (định lí ta-lét) (1)
Trong △ ALO ta có:PF //CL hay FQ //LO
Suy ra: (định lí ta-lét) (2)
Trong △ ALC ta có: PF // CL
Suy ra: (định lí ta-lét) (3)
Từ (2) và (3) suy ra:
Vì LO = 1/3 CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến) nên (4)
Từ (1) và (4) suy ra: ⇒ FM = 1/3 FE
Trong △ EPF ta có:PF // CL hay NI // PF
Suy ra: (định lí ta –lét) (5)
Trong △ CKO ta có: EI // OK
Suy ra: (định lí ta –lét) (6)
Trong △ CKA ta có:PE // AK
Suy ra: (định lí ta –lét) (7)
Từ (6) và (7) suy ra:
Vì OK = 1/3 AK (O là giao điểm của hai đường trung tuyến) nên (8)
Từ (5) và (8) suy ra: ⇒EN = 1/3 EF
Ta có: MN = EF - (EN + FM) = EF - (1/3 EF + 1/3 EF) = 1/3 EF
Vậy EN = MN = NF
Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N
Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau ?
cho tam giác ABC có 2 trung tuyến ac và CN cắt nhau tại O. Từ 1 điểm P bất kì trên cạnh AC vẽ các đường thẳng PE//AK;PF//CN. Các trung tuyến AK;CN cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M và Q Chứng Minh các đoạn thẳng FM;MQ;QE bằng nhau
Gọi H là giao của PF và AK, I là giao của PE và CN
Xét ΔFPE có PE//AK
=>HM//PE
=>FH/FB=FM/FE
Xét ΔANO có PF//CN
=>FH//NO
=>AF/AN=FH/NO
ΔALC có PF//CN
nên AF/AN=FP/CN
=>FH/NO=FP/CN
=>FH/EP=NO/CN
NO=1/3CN
nên FH/FP=1/3
=>FM/FE=1/3
=>FM=1/3FE
PF//CN
=>QI//PF
=>EI/EP=EQ/EF
EI//OK
=>CE/CK=EI/KO
PE//AK
=>CE/CK=EP/AK
=>EI/OK=EP/AK
=>EI/EP=OK/AK=1/3
=>EQ=1/3EF
=>FM=MQ=QE
Cho tam giác ABC có diện tích 420 cm^2. Điểm N là trung điểm của cạnh CA. Điểm P là điểm nằm trên doạn thẳng AB sao cho AP = 3PB. Các đoạn thẳng BN và CP cắt nhau tại K. Tính diện tích tam giác BKC.
Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Trên AM lấy điểm D sao cho D nằm giữa B và M. Qua D kẻ đường thẳng song song với AM cắt cạnh AB của tam giác ABC và cắt tia đối của tia AC lần lượt tại E và F.
a) chứng minh tam giác BED đồng dạng với tam giác BAM. Nếu cho biết BD=3cm, DM=2cm, DE=6 cm, tính AM
b) Chứng minh DE+DF=2AM
c)từ A kẻ AK song song với BC cắt È tại K, N là trung điểm EA, G là giao điểm AK và FN
Chứng minh FG=2/3 FN