Ta có : (x-y)^2 >= 0 

<=> x^2-2xy+y^2>=0

<=> x^2+y^2 >= 2xy = 2.5 = 10 > 9,999

=> x^2+y^2 >= 9,999

x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0

 Do 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸3\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[3\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải tồn tại 1 số chia hết cho 3.

 Tương tự, một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 nên nếu \(x,y⋮̸4\) thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1\equiv2\left[4\right]\), vô lí. Vậy trong 2 số x, y phải có 1 số chia hết cho 4.

 Từ 2 điều trên, kết hợp với \(\left(4,3\right)=1\), thu được \(xy⋮3.4=12\). Ta có đpcm.

\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

bđt\(\Leftrightarrow2x+2y+2xy-2\le2x^2+2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)

\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)

bất đẳng thức cuối luôn đúng=> bđt đầu luôn đúng

Lời giải:

$(x-y)^2\geq 0$ 

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$
$\Leftrightarrow 2\geq (x+y)^2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\geq x+y\geq -\sqrt{2}$

Ta có đpcm.

Bạn mới bổ sung câu b thì làm như sau:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}$

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{2}{\sqrt{yz}}$

$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\geq \frac{2}{\sqrt{zx}}$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$