a) Ta có \(IM//AE\)suy ra \(\widehat{MIH}=\widehat{EAH}\). Mà \(\widehat{EAH}=\widehat{ECH}\)nên \(\widehat{MIH}=\widehat{MCH}\). Suy ra tứ giác CIMH nội tiếp.

Dễ dàng chỉ ra được ED là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\)suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HCE}\)\(\left(1\right)\)

Do tứ giác CIMH nội tiếp nên \(\widehat{CHM}=90^0\)suy ra \(\widehat{HCM}+\widehat{HMC}=90^0\)

Mà \(\widehat{HMD}+\widehat{HMC}=90^0\)nên \(\widehat{HCM}=\widehat{HMD}\)\(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HMD}\)nên tứ giác EMHD nội tiếp. Do đó \(\widehat{HDM}=\widehat{HEM}\)mà \(\widehat{HEM}=\widehat{HCD}\)nên \(\widehat{HDM}=\widehat{HCD}\)

Từ đó chứng minh được BD là tiếp tuyến của \(\left(O_1\right)\)

b) Sử dụng tính chất đường nối tâm vuông góc với dây chung ta có: \(OO_2\perp HE,O_2O_1\perp HD\)và do \(EH\perp HD\)suy ra \(OO_2\perp O_2O_1\)

Dễ thấy \(\widehat{COM}=45^0\)suy ra \(\widehat{CAE}=45^0\)nên \(\widehat{O_2OO_1}=45^0\). \(\Delta O_2OO_1\)vuông cân tại \(O_2\)

Tứ giác OCDE là hình vuông cạnh R và \(O_2\) là trung điểm của DE nên ta tính được \(O_2O^2=\frac{5R^2}{4}\)

.Vậy diện tích \(\Delta O_2OO_1\)  là\(\frac{5R^2}{8}\)

a)

Gọi C’ là trung điểm của OM.

Suy ra BC’ là đường trung tuyến

Suy ra tam giác OBC là tam giác đều : OB=OC’=BC’=R

Suy ra góc BOC’ =60 độ

Mà goc BAM = góc BOC’ = sđcung BA chia 2 = sđ cung BC’ ( do cung BC’=cung C’A);

 Suy ra góc BAM=60 độ

Mà tam giác BAM là tam giác cân có MA=MB(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác BAM là tam giác đều.

Do BAM là tam giác đều suy ra AB=MA=MB

Áp dụng định lí py-ta-go trong tam giác vuông ta có:

b)

ta thấy điểm C trùng với C’

mà ta có OB=OA=AC’=BC’=R

suy ra tứ giác OBC’A là hình thoi

suy ra tứ giác OBCA là hình thoi

a, ^BAC = 90⁰ ( điểm thuộc đường tròn nhìn đường kính ) 

Theo Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=\sqrt{3}R\)

sinB = \(\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}R}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\)^B = 60⁰

Vì ^C ; ^B phụ nhau => ^C = 90⁰ - 60⁰ = 30⁰ 

b, Vì AH là đường đường cao với D thuộc AH 

=> AD vuông BC (1) 

Vì AD vuông BC => AH = HD (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra BC là đường trung trục AD 

Vì BC là đường trung trực => AC = AD 

=> tam giác ACD cân => ^CAD = ^CDA (3) 

Xét tam giác AHC vuông tại H có ^HAC và ^C phụ nhau 

=> ^HAC = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰ (4) 

Từ (3) ; (4) suy ra tam giác ADC đều 

c, ^ABC = 1/2 sđ cung AC ( góc nội tiếp chắn cung AC ) 

^CBD = 1/2 sđ cung CD ( góc nội tiếp chắn cung CD ) 

mà BC là đường trung trực nên AH = HD và BC vuông AD 

=> C là điểm chính giữa cung AD => cung AC = cung CD (5) 

Lại có ^AOC = 1/2 sđ cung AC ( góc ở tâm ) => ^AOC = ^ABC = 1/2 sđ cung AC 

^COD = 1/2 sđ cung CD ( góc ở tâm ) => ^COD = ^CBD = 1/2 sđ cung CD

Lại có (5) suy ra ^AOC = ^COD 

Xét tam giác OAE và tam giác ODE 

OA = OD = R 

OE _ chung 

^AOE = ^EOD ( cmt ) 

Vậy tam giác OAE = tam giác ODE 

=> ^OAE = ^ODE = 90⁰

=> OA vuông AE 

Vậy AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) 

d, bạn tính lần lượt EB ; CH ; BH ; EC xong nhân vào là ra nhé 

Giúp mình với ạ <3 

d, Vi ED la tiep tuyen (chung minh tren) => tam giac EDF vuong tai D

co \(\widehat{CDE}=\frac{1}{2}sd\widebat{DC}=\frac{1}{2}\widehat{COD}=\frac{1}{2}.120=60^o\)

ma \(\widehat{CED}+\widehat{COD}=180^o\Rightarrow\widehat{CED}=180-120=60^o\)

suy ra \(\Delta CED\) deu => EC=CD (1)

mat khac cung co \(\widehat{CFD}=\widehat{CDF}\) (phu hai goc bang nhau)

=> tam giac CDF can tai C

suy ra CD=CF (2)

tu (1),(2) suy ra dpcm