\(A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)

\(>=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}\)(bđt svacxo)\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)

\(>=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc+ac+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)(bđt svacxo)

\(=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)

\(=\frac{9}{1}+\frac{7}{ab+ac+bc}=9+\frac{7}{ab+ac+bc}\)

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc>=ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc\)

\(=3ab+3ac+3bc=3\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\cdot1=\frac{1}{3}>=ab+ac+bc\Rightarrow ab+ac+bc< =\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow9+\frac{7}{ab+ac+bc}>=9+\frac{7}{\frac{1}{3}}=9+7\cdot3=9+21=30\)

\(\Rightarrow A>=30\)dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

vậy min A là 30 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

1,

\(A=1+a+\frac{1}{b}+\frac{a}{b}+1+b+\frac{1}{a}+\frac{b}{a}\)

\(\ge1+1+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+a+b+\frac{a+b}{ab}=4+a+b+\frac{4\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2}=4+a+b+\frac{4}{a+b}\)

lại có \(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)

\(4+a+b+\frac{4}{a+b}=4+\left(a+b+\frac{2}{a+b}\right)+\frac{2}{a+b}\ge4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\ge4+3\sqrt{2}\)

câu 2

ta có:\(\left(2b^2+a^2\right)\left(2+1\right)\ge\left(2b+a\right)^2\Rightarrow3c\ge a+2b\)

\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(Q.E.D\right)\)

A\(\ge3\)

You know

A\(\ge\)9

Theo gt \(ab+bc+ca\le abc^{\left(3\right)}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le1\)

\(\frac{9}{a+b+c}\le1\)

\(a+b+c\ge9^{\left(1\right)}\)

Mặt khác 

\(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a+b+c\right)\)

\(a^2+b^2+c^2\ge9\cdot3=27^{\left(2\right)}\)

Vì a,b,c >0, áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\frac{a^2b}{b+2a}+\frac{b\left(b+2a\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b+2a}\cdot\frac{b\left(b+2a\right)}{9}}=\frac{2ab}{3}\)

CMTT

\(\frac{b^2c}{c+2b}+\frac{c\left(c+2b\right)}{9}\ge\frac{2bc}{3}\)

\(\frac{c^2a}{a+2c}+\frac{a\left(a+2c\right)}{9}\ge\frac{2ca}{3}\)

Cộng vế với vế a được :

\(A+\frac{a^2+b^2+c^2}{9}+\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{9}\ge\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(A\ge\frac{4\left(ab+bc+ca\right)}{3}-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}^{\left(#\right)}\)

Từ 1,2,3 và # ta có

\(A\ge\frac{4\cdot9}{3}-\frac{27}{9}=9\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=3\)

Vậy...

Bài này dễ ẹc, cho tí não vào là ok 

Giải

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\) khi đó ta tìm dc \(S=2\)

Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của \(S\)

Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(Σ\frac{a^2+b}{b+c}\ge\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\)

Vậy ta chỉ cần chứng minh rằng \(\frac{\left(Σa^2+1\right)^2}{Σa^2\left(b+c\right)+Σa^2+Σab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)

BĐT cuối cùng có thể biến đổi như sau:

\(1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2\left(b+c\right)+2Σab\)

\(\Leftrightarrow1+\left(Σa^2\right)^2\ge2Σa^2-2Σa^3+2Σab\)

\(\Leftrightarrow\left(Σa^2\right)^2+2Σa^3\geΣa^2\) điều này đúng, vì 

\(Σa^3\ge\frac{Σa^2}{3}\)(BĐT Chebyshev). Và \(\left(Σa^2\right)^2\ge\frac{Σa^2}{3}\)

1.

\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)

Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng

Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)

Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi  \(a=\frac{1}{3}\)

khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)

tương tự =>đpcm

lười quá khỏi nghĩ đưa link

| Inequalities (ko dịch dc thì pm)