Question

Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\)Tìm Min \(B=\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\)

Answer 1

Em không chắc đâu nha, sai thì xin thông cảm cho ạ

\(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow B=\frac{3\sqrt{3}}{2}\). Ta se chung minh do la gia tri min cua B. That vay:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

BĐT trên đồng bậc, nên ta chuẩn hóa a² + b² + c² = 3 và chứng minh:

\(\frac{a}{3-a^2}+\frac{b}{3-b^2}+\frac{c}{3-c^2}\ge\frac{3}{2}\) (2) 

Ta chứng minh BĐT sau: \(\frac{a}{3-a^2}\ge\frac{1}{2}a^2\Leftrightarrow\frac{a^2}{2}-\frac{a}{3-a^2}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(a-1\right)^2a\left(a+2\right)}{2\left(3-a^2\right)}\le0\) (Đúng)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra BĐT (2) là đúng.

Suy ra BĐT (1) là đúng suy ra \(B_{min}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Vậy...

Answer 2

Xét \(\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{1-a^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)

<=> \(a^4-a^2+\frac{2\sqrt{3}}{9}a\ge0\)

<=> \(a\left(a+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)\left(a-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2\ge0\)luôn đúng

=> \(B\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Min \(B=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)khi \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)