Cho tam giác đều ABC có diện tích là S. Các điểm D,E,F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho \(AD=\frac{1}{3}AB\), \(BE=\frac{1}{3}BC\), \(CF=\frac{1}{3}CA\). Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của AE với CD, AE với BF, BF với CD.
a/ Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.
b/ Tính diện tích của tam giác MNP theo S
Cho tam giác ABC có AB = c; BC = a; CA = b và diện tích tam giác ABC = S. Lấy D,E,F lần lượt thuộc các cạnh AB;BC;CA thỏa \(\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CA}=\frac{1}{3}\)gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của: AE,CD ; AE,BF ; BF,CD. Tính diện tích tam giác MNP theo a,b,c và S
Mình không biết vẽ hình khi trả lời nên bạn tự vẽ nhé
Đầu tiên chứng minh \(NE=\frac{1}{6}AN\)
Qua E kẻ đường thẳng song song BF cắt AC tại K
Theo ta-lét ta có:
\(\frac{FK}{FC}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}\)=>\(\frac{FK}{ÀF}=\frac{1}{6}=\frac{NE}{AN}\)
Từ E,N,C kẻ các đường cao tới AB lần lượt là H,G,I
Theo talet ta có
\(\frac{EH}{CI}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3},\frac{NG}{EH}=\frac{AN}{AE}=\frac{6}{7}\)
=> \(\frac{NG}{CI}=\frac{2}{7}\)=> \(\frac{NG.AB}{CI.AB}=\frac{2}{7}\)
=> \(\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)
Tương tự \(\frac{S_{BPC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\),\(\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{2}{7}\)
=> \(S_{MNP}=S_{ABC}-S_{AMC}-S_{ABN}-S_{BCP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)
Vậy \(S_{MNP}=\frac{1}{7}S_{ABC}\)
Cho tam giác ABC có diện tích 126cm2. Trên AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm D,E,F sao cho AD=DB, BE=2EC, CF=3FA.
M là giao điểm của AE và BF
N là giao điểm của BF và CD
P là giao điểm của AE và CD
Tính diện tích tam giác MNP.
CPE = 1/3 CPB = 1/3 CPA=1/4 CAE=1/8 ABC
BND=1/2 BNA=1/6 BNC=1/7 BCD=1/14ABC
AMF=1/4 AMC=1/8 ABM= 1/9 ABF=1/36 ABC
AMND=ABF – BND – AMF
=1/4 ABC = 1/14 ABC = 1/36 ABC= 7/42 ABC
BEPD= BCD = CPE
= ½ ABC – 1/8 ABC = 3/8 ABC
MNP = ABC – AEC – BEPD – AMND
= ABC – 1/3 ABC – 3/8 ABC – 7/42 ABC
= 1/8 ABC
Cho tam giác ABC có diện tích 126 c m 2 . Trên AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm D,E,F sao cho AD=DB, BE=2EC, CF=3FA. M là giao điểm của AE và BF N là giao điểm của BF và CD P là giao điểm của AE và CD Tính diện tích tam giác MNP.
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D,E,F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = 1/3 AB, BE = 1/3 BC, CF + 1/3 CA. Các đoạn thẳng AE,BF,CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng diện tích tam giác này bằng 1/7 diện tích tam giác ABC
À chỗ CF + 1/3 CA chỉnh sửa dấu "+" thành dấu"=" ạ!
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, F thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD=1/3*AB, BE=1/3*BC, CF=1/3*CA. Các đoạn thẳng AE, BF, CD cắt nhau tạo thành một tam giác. Chứng minh rằng diện tích tam giác này bằng 1/7 diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC , các điểm D,E,F trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AD = 1/3 AB ;
BE = 1/3 BC, CF = 1/3 CA . AE, BF, CD cắt nhau tại M , N , P . Tính tỉ số diện tích tam giác
MNP với diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm D,E,F sao cho:\(\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CA}=\frac{1}{3}\)
Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các đường thẳng AE,BF,CD,biết diện tích tam giác ABC là S
Cho tam giác ABC có các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi giao điểm của AE với BF và CD lần lượt là Q, R, giao điểm của CD và BF là P. Biết diện tích bốn tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR cùng bằng 1. Chứng minh các tứ giác AFPR, BDRQ, CEQP có diện tích bằng nhau.
Trả lời giúp mik nhanh nha!
Ta có: \(S_{PQR}=S_{CFP}\Rightarrow S_{PQR}+S_{QPC}=S_{CFP}+S_{QPC}\Rightarrow S_{QRC}=S_{QFC}\)(Tính chất diện tích miền đa giác)
Ta thấy: \(\Delta QRC\)và \(\Delta QFC\)có chung đáy QC mà chúng có diện tích bằng nhau.
Nên chiều cao hạ từ R & F của 2 tam giác này bằng nhau => Khoảng cách từ 2 điểm R & F đến QC bằng nhau
Hay RF // QC => Tứ giác QRFC là hình thang.
Xét hình thang QRFC: FQ giao CR tại P; QR giao CF tại A.
Theo Bổ đề Hình thang (Search Mạng) thì AP đi qua trung điểm của đáy CQ (điểm I) => QI=CI
Xét \(\Delta AQI\)và \(\Delta ACI\)có: QI=CI (cmt); chung chiều cao hạ từ A xuống 2 đáy QI; CI
\(\Rightarrow S_{AQI}=S_{ACI}\). Tương tự: \(S_{PQI}=S_{PCI}\)\(\Rightarrow S_{AQI}-S_{PQI}=S_{ACI}-S_{PCI}\Rightarrow S_{APQ}=S_{APC}\)
Hay \(S_{ARP}+S_{PQR}=S_{AFP}+S_{CFP}\). Mà \(S_{PQR}=S_{CFP}\Rightarrow S_{ARP}=S_{AFP}\)
Lại có: \(S_{ADR}=S_{CFP}\Rightarrow S_{ARP}+S_{ADR}=S_{AFP}+S_{CFP}\Rightarrow S_{APD}=S_{APC}\)
Do 2 tam giác APD và APC chung chiều cao hạ từ A xuống 2 đáy PD & PC và có S bằng nhau
Nên PD=PC. Xét \(\Delta BPD\)và \(\Delta BPC\): PD=PC, chung chiều cao hạ từ B xuống PD và PC
\(S_{BPD}=S_{BPC}\Rightarrow S_{BDRQ}+S_{PQR}=S_{CEQP}+S_{BEQ}\). Mà \(S_{PQR}=S_{BEQ}\Rightarrow S_{BDRQ}=S_{CEQP}\)
Hoàn toàn tương tự: \(S_{CEQP}=S_{AFPR}\). Từ đó ta có: \(S_{AFPR}=S_{BDRQ}=S_{CEQP}\)(đpcm).
