Ta thấy :

3^6n-1 - k . 3^3n-2 + 1 ⋮ 7 <=> 9 . ( 3^6n-1 - k . 3^3n-2 + 1 ) ⋮ 7

<=> 3⁶ⁿ⁺¹ - k . 3³ⁿ + 9 ⋮ 7

Vì 3⁶ⁿ⁺¹ ≡ 3 ( mod 7 ) , suy ra 3⁶ⁿ⁺¹ + 9 ≡ 5 ( mod 7 )

Do đó để 3⁶ⁿ⁺¹ - k . 3 + 9 ⋮ 7 thì k . 3³ⁿ ≡ 5 ( mod 7 )

Từ đó ta chứng minh được : Nếu n chẵn thì k ≡ 5 ( mod 7 ) , còn nếu n lẻ thì k ≡ -5 ( mod 7 )

Ta thấy :

3^6n-1 - k . 3^3n-2 + 1 ⋮ 7 <=> 9 . ( 3^6n-1 - k . 3^3n-2 + 1 ) ⋮ 7

<=> 3⁶ⁿ⁺¹ - k . 3³ⁿ + 9 ⋮ 7

Vì 3⁶ⁿ⁺¹ ≡ 3 ( mod 7 ) , suy ra 3⁶ⁿ⁺¹ + 9 ≡ 5 ( mod 7 )

Do đó để 3⁶ⁿ⁺¹ - k . 3 + 9 ⋮ 7 thì k . 3³ⁿ ≡ 5 ( mod 7 )

Từ đó ta chứng minh được : Nếu n chẵn thì k ≡ 5 ( mod 7 ) , còn nếu lẻ thì k ≡ -5 ( mod 7 )

* Ta có u 1 = 9 1 − 1 = 8  chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử u k = 9 k − 1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh u k + 1 = 9 k + 1 − 1  chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có u k + 1 = 9 k + 1 − 1 = 9.9 k − 1 = 9 9 k − 1 + 8 = 9 u k + 8 .

Vì 9 u k và 8 đều chia hết cho 8, nên u k + 1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u n chia hết cho 8.

Ta có : \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n là số nguyên , n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2,3) = 1 => n(n+1)(n+2) chia hêt cho 2x3 = 6

Hay \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.