Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Đáp án B

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Vì S_ABC=37,5=>AH.BC=75=>BC=12,5

Đặt cạnh CH=x

=>HB=12,5-x

Áp dụng hệ thức 2 vào tam giác abc

AH²=BH.CH

<=>6²=x(12,5-x)

<=>36=12,5x-x²

<=>x²-12,5x+36=0

<=>(x-6,25)²=3

..............tìm x sau đó thay vào tìm ab,ac

a) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{15^2}+\dfrac{1}{20^2}=\dfrac{625}{90000}\)

\(\Leftrightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=15^2-12^2=81\)

hay BH=9(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+CH^2\)

\(\Leftrightarrow CH^2=AC^2-AH^2=20^2-12^2=256\)

hay CH=16(cm)

c) Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)

hay \(\dfrac{AD}{15}=\dfrac{CD}{25}=\dfrac{AD+CD}{15+25}=\dfrac{20}{40}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: AD=7,5cm; CD=12,5cm

Mấy bài này cũng easy thôi

a) \(\Delta ABC;\widehat{A}=1v\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{12^2+16^2}\)\(=20\left(cm\right)\)

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA ( \(\widehat{B}\)chung \(\widehat{BAC}=\widehat{BAH}=90^0\))

\(\Rightarrow\frac{AB}{BH}=\frac{AC}{AH}=\frac{BC}{AB}\)

hay \(\frac{12}{BH}=\frac{16}{AH}=\frac{20}{12}=\frac{10}{6}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{16.6}{10}=9,6\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BH=\frac{12.6}{10}=7,2\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=BC-BH=20-7,2=12,8\)( cm )

b) \(\Delta HMA\)vuông tại H

\(\Rightarrow S_{HMA}=\frac{1}{2}HM.AH\)\(=\frac{1}{2}.2,8.9,6=13,44\left(cm^2\right)\)

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)\(=3^2+4^2=25\)

\(\Rightarrow AB=5\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng ta có:

\(AH^2=AB\cdot AC\Rightarrow AC=\dfrac{AH^2}{AB}=\dfrac{3^2}{5}=1,8\left(cm\right)\)

Do đó:\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+1,8^2}\simeq5,3\left(cm\right)\)

AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông ABC

=> AM=\(\dfrac{1}{2}\) BC= 2,65 \(\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : \(AH^2=HB.HC\Rightarrow HB=\dfrac{AH^2}{HC}=\dfrac{144}{16}=9\)cm 

-> BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 cm 

Diện tích tam giác ABC là : \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC=\dfrac{1}{2}.12.25=150\)cm²

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=BH.CH\Rightarrow BH=\dfrac{AH^2}{CH}=9\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=150\left(cm^2\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{144}{16}=9\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{12\cdot25}{2}=150\left(cm^2\right)\)

Phần a dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông

Phần b chứng minh tam giác đồng dạng thì sẽ ra

Phần c, d tớ chưa nghĩ ra

Áp dụng định lí Py-ta-go cho  \(\Delta AHC\) vuông tại H ta được :

\(HC^2=AC^2-AH^2\)

\(\Leftrightarrow HC^2=20^2-12^2\)

\(\Leftrightarrow HC^2=256\)

\(\Leftrightarrow HC=16\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng ta được : \(AH^2=HC.HB\)

\(\Leftrightarrow12^2=BH.16\)

\(\Leftrightarrow BH=9\left(cm\right)\)

Ta có :  \(S_{\Delta ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AH.\left(BH+CH\right)}{2}=\frac{12\left(9+16\right)}{2}=\frac{300}{2}=150\left(cm^2\right)\)

Vậy  \(S_{\Delta ABC}=150cm^2\)