Ta có: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}\)

\(=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Ta chứng minh bất đẳng thức :

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Vì x, y, z đóng vai trò như nhau nên ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Xét:

 \(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{x}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{2x}{y}+\frac{y}{z}=\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{x.x.y}{y.y.z}}=3\sqrt[3]{\frac{x.x.x}{xyz}}=3\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Tương tự như thế ta có:

\(3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge3.\frac{x}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{y}{\sqrt[3]{xyz}}+3\frac{z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Như vậy:

\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

=> \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Dấu "=" khi x=y=z

Câu hỏi của Incursion_03 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

https://olm.vn/hoi-dap/detail/221691630609.html giúp em với ạ. Thanks.

Câu 1,

x+y=-1/3 ; y+z=5/4 ; x+z= 4/3

=> 2(x+y+z)=9/4

=> x+y+z=9/8

Ta lại có: x+y=-1/3

=> z=9/8 -(-1/3)=35/24

Ta lại có: z+y=5/4

=> y=-5/24

=> x=.....

Câu 2:

\(-4\le x\le-\frac{11}{18}\)

bị khóa rồi thì lm sao mà vào dc 

hỏi câu nào có lý tí đi vô lý quá

hâm, nó báo tài khoảng của bn bị khóa nhưng vẫn vô đc là sao

chắc là lỗi

sory về hoàn cảnh của bạn. Hu Hu. Tớ giận mình đã ko giúp được bạn.

mik chỉ giải được bài 1 với bài 2 thôi!!! 

\(C7=736\)

\(C1:\)\(S\)\(=225\)\(cm^2\)\(\Leftrightarrow\)\(S=\left(4x-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(4x-1\right)^2=225\)

\(\Rightarrow\left(4x-1\right)^2=15^2\Rightarrow4x-1=15\)

\(\Rightarrow4x=16\)

\(\Rightarrow x=4\)

Phần lớn các câu hỏi toàn từ ngày hôm qua hay mấy tháng trước

bn là girl ak ?

òm.. tối sang nhà tao chs ko !!!

- Phải làm đủ thứ việc nhà

- Đi chùa leo mỏi hết cả chân

- Phải sắp đồ cúng ( cần sự tỉ mỉ cao )

- Thức đêm :<<