\(P=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{x+2y+5}=\frac{1}{5xy}+\frac{5}{\left(x+y\right)+y+5}\ge\frac{1}{5xy}+\)\(\frac{5}{y+8}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{5xy}+\frac{xy}{20}+\frac{5}{y+8}+\frac{y+8}{20}-\frac{xy+y+8}{20}\)

Lại có \(\frac{xy+y+8}{20}=\frac{y\left(x+1\right)+8}{20}\le\frac{\frac{\left(x+y+1\right)^2}{4}}{20}\le\frac{3}{5}\)

khi đó \(p\ge\left(\frac{1}{5xy}+\frac{xy}{20}\right)+\left(\frac{5}{y+8}+\frac{y+8}{20}\right)-\frac{xy+y+8}{20}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{1}{5}+1-\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{5}\)

vậy \(P_{min}=\frac{3}{5}\Rightarrow x=1,y=2\)

áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y+2z}{9}+\frac{1}{3}>=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+2z}.\frac{\left(y+2z\right)}{9}.\frac{1}{3}}=x\)

\(=>\frac{x^3}{y+2z}>=x-\frac{y+2z}{9}-\frac{1}{3}\)

Tương tự \(\frac{y^3}{z+2x}>=y-\frac{z+2x}{9}-\frac{1}{3}\),\(\frac{z^3}{x+2y}>=z-\frac{x+2y}{9}-\frac{1}{3}\)

\(=>P>=\left(x+y+z\right)-\frac{3\left(x+y+z\right)}{9}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\)

Mà x+y+z=3

\(=>P>=3-1-1=1\)

=>Min P=1 

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

bạn đăng bđt đi CTV,,,,mik lm vs

một cách khác khá hay nhưng dài hơn:

\(P=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{xz+2yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\frac{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}{3}=1\)

Từ giả thiết ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow x^2\le3x-2\). Tương tự \(y^2\le3y-2\)

Từ đây ta có: \(A\ge\frac{x+2y}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{y+2x}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\). Đặt \(t=x+y\Rightarrow2\le t\le4\)

Ta sẽ tìm min của \(A=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}\) với \(2\le t\le4\). Đến đây vẫn chưa mừng được vì ko thể dùng miền giá trị!Ta sẽ chứng minh A \(\le\frac{7}{8}\). Thật vậy: \(A-\frac{7}{8}=\frac{t}{t+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}-\frac{1}{8}\)

\(=\frac{t-3}{4\left(t+1\right)}-\frac{t-3}{8\left(t-1\right)}=\frac{4\left(t-3\right)^2}{32\left(t+1\right)\left(t-1\right)}\ge0\). Do đó...

Đẳng thức xảy ra khi (x;y) = (2;1) và các hoán vị của nó!

P/s: Nhớ check xem em có quy đồng sai chỗ nào không:v

Ấy nhầm:v "Ta sẽ chứng minh \(A\ge\frac{7}{8}\)" Thế này mới đúng nha, đánh lanh tay quá nên nhầm:)))

\(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}\)

\(2P=6x+4y+\frac{12}{x}+\frac{16}{y}\)

\(=\left(3x+\frac{12}{x}\right)+\left(y+\frac{16}{y}\right)+3\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{3x\cdot\frac{12}{x}}+2\sqrt{y\cdot\frac{16}{y}}+3\cdot6=12+8+18=38\)( bđt AM-GM và giả thiết x + y ≥ 6 )

=> P ≥ 19

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}3x=\frac{12}{x}\\y=\frac{16}{y}\\x+y=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy MinP = 19

Ta có: \(P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}=\left(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{6}{x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\right)\)

Vì \(\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}\left(x+y\right)\ge\frac{3}{2}.6=9\)

\(\frac{3x}{2}+\frac{6}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{2}.\frac{6}{x}}=6;\frac{y}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{8}{y}}=4\)

\(\Rightarrow P\ge9+6+4=19\)

Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=6\\\frac{3x}{2}=\frac{6}{x}\\\frac{y}{2}=\frac{8}{y}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy GTNN của P là 19

\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{2a}{2}=a\Rightarrow xy\le a^2\)

Ta có : \(A=\frac{x+y}{xy}\ge\frac{2a}{a^2}=\frac{a}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = a

vậy ....